多元回归分析

第八章 SPSS的相关分析和 回归分析(三)

多元线性回归分析

多元线性回归分析的主要问题– 回归方程的检验 – 自变量筛选 – 多重共线性问题

多元线性回归分析应用举例 根据10个市场区在特定周内某产品的销 售额、广告费、人口密度数据,建立销售 额的预测模型

多元线性回归分析操作(1)菜单选项: analyze->regression->linear… (2)选择一个变量为因变量进入dependent框 (3)选择一个或多个变量为自变量进入independent框 (4)选择多元回归分析的自变量筛选方法:– enter:所选变量全部进入回归方程(默认方法) – remove:从回归方程中剔除变量 – stepwise:逐步筛选；backward:向后筛选；forward:向前筛选

(5)对样本进行筛选(selection variable)– 利用满足一定条件的样本数据进行回归分析

(6)指定作图时各数据点的标志变量(case labels)

多元线性回归方程的检验(一)拟和优度检验:n 1 SSE 均方误差 2 R 1 (1)判定系数R2: n k 1 SST 因变量的样本方差 – R是y和xi的复相关系数(或观察值与预测值的相关系数),测定了 因变量y与所有自变量全体之间线性相关程度 (2)调整的R2: R2 1

– 考虑的是平均的剩余平方和,克服了因自变量增加而造成R2也 增大的弱点 – 在某个自变量引入回归方程后，如果该自变量是理想的且对 因变量变差的解释说明是有意义的，那么必然使得均方误差 减少，从而使调整的R2得到提高；反之，如果某个自变量对 因变量的解释说明没有意义，那么引入它不会造成均方误差 减少，从而调整的R2也不会提高。

多元线性回归方程的检验(二)回归方程的显著性检验： (1)目的:检验所有自变量与因变量之间的线性关系是否显著，是否 可用线性模型来表示. (2)H0: β1 = β2 =…= βk =0 即:所有回归系数同时与0无显著差异 i y )2 / k ( y (3)利用F检验,构造F统计量: F 2

( y

i

i ) /(n k 1) y

– F=平均的回归平方和/平均的剩余平方和~F(k,n-k-1) – 如果F值较大，则说明自变量造成的因变量的线性变动大于随机因素对 因变量的影响,自变量于因变量之间的线性关系较显著 (4)计算F统计量的值和相伴概率p (5)判断 – p<=a:拒绝H0,即:所有回归系数与0有显著差异，自变量与因变量之间存在 显著的线性关系。反之，不能拒绝H0

多元线性回归方程的检验(三)回归系数的显著性检验 (1)目的:检验每个自变量对因变量的线性影响是否显著. (2)H0:βi=0 即:第i个回归系数与0无显著差异 (3)利用t检验,构造t统计量： i S ti S S i (x x )2 y i 2 i i

– 其中:Sy是回归方程标准误差(Standard Error)的估计值，由均方误 差开方后得到，反映了回归方程无法解释样本数

据点的程度或偏 离样本数据点的程度 – 如果某个回归系数的标准误差较小，必然得到一个相对较大的t 值，表明该自变量xi解释因变量线性变化的能力较强。

(4)逐个计算t统计量的值和相伴概率p (5)判断

多元线性回归分析应用举例 根据若干年国民收入和其他相关数据， 对国民收入的影响因素进行分析

多元线性回归分析中的自变量筛选(一)自变量筛选的目的 多元回归分析引入多个自变量. 如果引入的自变量个数较少,则 不能很好的说明因变量的变化; 并非自变量引入越多越好.原因: – 有些自变量可能对因变量的解释没有贡献 – 自变量间可能存在较强的线性关系,即:多重共线性. 因而不能 全部引入回归方程.

多元线性回归分析中的自变量筛选(二)自变量向前筛选法(forward): 即:自变量不断进入回归方程的过程. 首先,选择与因变量具有最高相关系数的自变量进入方程, 并进行各种检验; 其次,在剩余的自变量中寻找偏相关系数最高的变量进入 回归方程,并进行检验; – 默认:回归系数检验的概率值小于PIN(0.05)才可以进入 方程. 反复上述步骤,直到没有可进入方程的自变量为止.

多元线性回归分析中的自变量筛选(三)自变量向后筛选法(backward): 即:自变量不断剔除出回归方程的过程. 首先,将所有自变量全部引入回归方程； 其次,在一个或多个t值不显著的自变量中将t值最小的 那个变量剔除出去,并重新拟和方程和进行检验;– 默认:回归系数检验值大于POUT(0.10),则剔除出方程

如果新方程中所有变量的回归系数t值都是显著的,则变 量筛选过程结束. 否则,重复上述过程,直到无变量可剔除为止.

多元线性回归分析中的自变量筛选(四)自变量逐步筛选法(stepwise): 即:是“向前法”和“向后法”的结合。 向前法只对进入方程的变量的回归系数进行显著性检 验，而对已经进入方程的其他变量的回归系数不再进 行显著性检验，即：变量一旦进入方程就不回被剔除 随着变量的逐个引进，由于变量之间存在着一定程度 的相关性，使得已经进入方程的变量其回归系数不再 显著，因此会造成最后的回归方程可能包含不显著的 变量。 逐步筛选法则在变量的每一个阶段都考虑的剔除一个 变量的可能性。

多元线性回归分析中的自变量筛选 SPSS操作：options选项:– stepping method criteria:逐步筛选法参数设置. use probability of F:以F值相伴概率作为变量进入和剔除方

程的标准.一个变量的F值显著性水平小于entry(0.05)则进入方程;大于removal(0.1)则剔除出方程.因此:Entry<removal use F value:以F值作为变量进入(3.84)和剔除(2.71)方程的 标

准

多元线性回归中的共线性检测(一)共线性带来的主要问题 – 高度的多重共线会使回归系数的标准差随自变量相 关性的增大而增大,至使回归系数的置信区间不断增 大,造成估计值精度减低.有时表现出符号与实际情 况不符。 (二)共线性诊断 自变量的容忍度(tolerance)和方差膨胀因子 – 容忍度:Toli=1-Ri2. 其中: Ri2是自变量xi与方程中其他 自变量间的复相关系数的平方. – 容忍度越大则与方程中其他自变量的共线性越低,应 进入方程. (具有太小容忍度的变量不应进入方 程,spss会给出警)(T<0.1一般认为具有多重共线性) – 方差膨胀因子(VIF):容忍度的倒数 – SPSS在回归方程建立过程中不断计算待进入方程自 变量的容忍度,并显示目前的最小容忍度

多元线性回归中的共线性检测 用特征根刻画自变量的方差 – 如果自变量间确实存在较强的相关关系，那么它们 之间必然存在信息重叠，于是可从这些自变量中提 取出既能反映自变量信息(方差)又相互独立的因素 (成分)来. – 从自变量的相关系数矩阵出发，计算相关系数矩阵 的特征根，得到相应的若干成分. – 如果某个特征根既能够刻画某个自变量方差的较大 部分比例(如大于0.7),同时又可以刻画另一个自变量 方差的较大部分比例，则表明这两个自变量间存在 较强的多重共线性。 条件指标 m ki – 0<k<10 无多重共线性; 10<=k<=100 较强; k>=100 严重 i SPSS操作 – Statistics选项中的Collinearity dignostics

模型诊断 模型可靠性的诊断 模型是否对后续的样本具有较好的预测性？ 是否存在过度拟和(overfitting)现象 模型不仅反映了样本数据的信息，同时也包 含了样本中的“噪音”,可能是一种非“一 般化”的模型。表现出对样本有较高的拟和， 但预测能力不高 “机会”也会给拟和优度带来贡献 例如：产生若干个正态分布的随机数作为x,一 个作为y。根本不相关的数据也可以有较好的拟 和。

模型诊断 交叉验证法(Cross- validation) 训练集和检验集：当样本量较小时，训练样本比例 可较高；反之。 R 2 (1) R*2 (2) 计算交叉诊断的收缩值 通常大于0.9则可靠性差，小于0.1可靠性强 SPSS的操作 Save选项中的Predictive Values Transform中的Compute菜单 例如：对随机的数据进行模拟

模型诊断 Jackknife 验证法(Jackknife validation) 适用于样本量不是很大时 利用n-1个样本进行参数估计，并根据所估计的参数 计算剩余1个样本的预测值 计算拟和优度，并与利用全部样本时的拟和优度进 行比较。如果拟和优度降低，则说明该拟和优度可 能是更客观的，原本的高拟和可能是“机会”

引起 的

多元回归分析中注意的问题 个案独立性限制 – 例如：研究学生成绩与所在地区经济之间的关系 – 数据情况： 学号 成绩 所在学校 学校所在地区 地区经济指标 计量经济中多元回归中的自变量的角色： – 观测变量与控制变量 例如：分析收入对消费的影响时，控制变量年龄、 性别、受教育程度 例如：外国投资对环境的影响以及检验库兹涅兹 曲线(各省市数据) 二氧化碳排放量、外国直接投资额、人均GDP、 人均GDP2、面积、产业结构

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