《高等代数》课程简介(3)

线性函数，双线性函数，二次型可用矩阵表示。在欧氏空间里，取定一个标准正交基后，内积可用其度量矩阵表示，正交变换可用正交矩阵表示，对称变换可用对称矩阵表示。

通过矩阵表示，大部分线性代数的问题都可归结为矩阵问题。利用矩阵的初等变换可以讨论并求解线性方程组，可以讨论向量组的线性相关性，可以求已知向量在线性变换和基变换下的像，可以研究线性变换的运算。利用矩阵的特性可以确定它所对应的线性变换的特征。例如，由线性变换在任意标准正交基下的矩阵是正交矩阵就可知道该线性变换是正交变换。

有限维向量空间的维数与矩阵的秩联系起来，向量空间V上全体线性变换的集合L(V)与数域F上全体阶n阶矩阵的集合Mn(F)之间可以建立一个同构映射，从而有限维向量空间的一个线性变换在同构意义下实际上就是一个矩阵。

可将n阶行列式的定义看成是数域F上全体n n矩阵集合到数域F上的一个映射。线性方程组可表示为矩阵方程，因此解线性方程组可归结为解矩阵方程。

平面二次曲线的一般方程可用矩阵方程来表示，且可通过研究其系数做成的3阶实对称矩阵的合同分类性质来讨论该二次曲线的类型；平面坐标的旋转可用一个正交矩阵来刻划。

（二）深入挖掘知识之间的内在联系

《高等代数》是一门结构化很强的课程，应深入挖掘知识之间的内在联系，揭示知识结构的“本来面目”，以便从宏观上了解它的思想和方法。例如，一个线性方程组的解的情况是由它的每个方程的系数及常数项决定的，向量的线性表出是方程组的向量形式。另外方程组还可以写成矩阵的形式：AX B。方程组理论由方程组、向量及矩阵三块内容所构成。一个方程组的解的结构是与它的导出组密不可分的，导出组是一个齐次线性方程组，而它的解的存在性实质上是它的系数矩阵的列向量的线性相关问题，而它的解的个数是由列向量的线性无关的

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