中国矿业大学2011级第一学期期中考试高数答案(2)

x t2 1

6.（10分）已知曲线L的方程为 2

y 4t t

（1）讨论L的凹凸性；

(t 0)，

（2）过点( 1,0)引L的切线，求切线的方程。 解：（1）

dxdydy4 2t2

2t, 4 2t, 1 dtdtdx2tt

dy

d 1d2y1 2 1 dx 0(t 0处) 2 3

dx2dtt2tt dt

5分 所以，曲线L(在t 0处)是凸的。（2）切线方程为y 0

2 22

， 1 (x 1)，设切点x0 t0 1，y0 4t0 t0

t

2

则 4t0 t0

2 2232

1 (t0 2),4t0 t0 (2 t0)(t0 2) t 0

2

得 t0 t0 2 0,(t0 1)(t0 2) 0 t0 0 t0 1

切点为（2，3），切线方程为y x 1 5分

，1]具有三阶连续导数，且f( 1) 0,f(1) 1， 7.（10分）.设函数f(x)在[ 1

f'(0) 0，求证：在（-1，1）上存在一点 ，使f'''( ) 3

证：f(x) f(0) f'(0)x

11

f''(0)x2 f'''( )x3 2!3!

其中 (0,x),x [ 1,1]

11

f''(0) f'''( 1)26

将x=1，x=-1代入有

11

1 f(1) f(0) f''(0) f'''( 2)

26

0 f( 1) f(0)

两式相减：f'''( 1) f'''( 2) 6

1

[ 1， 2]， f'''( ) [f'''( 1) f'''( 2)] 3

2

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