大连理工大学2010级矩阵与数值分析试题答案(3)

二、（12分）设线性方程组

111 x1 1

122 x2 1 123 x 2 3

(1) 求系数矩阵A的LU分解；

(2) 利用平方根法（又称Cholesky方法）解此方程组； (3) 构造解此方程组的G-S迭代格式，并讨论其收敛性．

100 111 100 111

解 (1) L1A 110 A 011 ， L2L1A 010 L1A 011 U，

101 012 0 11 001 100 100 111 100 111 1 1

A=L1L2U= 110 010 011 110 011 LU．------------4分

101 011 001 111 001

(2) A的Cholesky分解与LU分解相同．

100 y1 1 y1 1

由 110 y2 1 ， 解得 y2 0 ；

111 y 2 y 1 3 3

111 x1 1 x1 1

再由 011 x2 0 ， 解得 x2 1 ． ---------------------8分

001 x 1 x 1 3 3

x1(k 1) 1 x2k( )x3k()

(k 1)11))

(3) G-S迭代格式 x2， --------------------10分 (1 x1k ( 2x3k()

2

(k 1)1k (1) k(1)x (1 x 2x)312 3 收敛性证明 方法一、 因为A对称正定，所以G-S法收敛． --------------------12分

11 11 11

2 02 11 0， 方法二、 由特征方程 C( ) 2 2 2

2 3 003 2003 2知 (BG)

2

1，所以G-S法收敛． --------------------12分 3

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