《概率论与数理统计》习题课2

1) 设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼，电梯在中途只下不上，每个乘客上哪一层（2~11层）下是等可能的，且乘客之间相互独立，试求电梯须停次数的数学期望。 设X表示“电梯停的次数”，令Xi

1,在第i层有人离开

0，否则

，i 2,3, 11。则

X X2 X3 X11，由

9 9

P Xi 0 ，P Xi 1 1- ，i 2,3, 11

10 10 9

知 E Xi 1 ，i 2,3, 11

20

9 20

故 E X 10E Xi 10 1 8.784（次）

20

2) 设随机变量X的分布列为P X k k(1 )k 1, 0,k 0,1, .求E X 和

20

2020

Var X .

分析：可直接按离散型随机变量的期望和方差的定义进行计算.

E(X) k /(1 )

k

k 02

2

k

k 1

/(1 ) k()

1 k 1

2

k 1

2

k 1

；

E(X) k /(1 )

k 1

/(1 ) k2()k 1 (1 2 )

1 k 1，

所以

Var X E(X2) [E(X)]2 (1 )

3) 设随机变量X的概率密度为

2x

2,0 x

f x

0其他

求Y=sinX的概率密度

解：X在 0， 上取值时，Y=sinX在（0，1）取值，故若y<0或y>1时，fY y 0。若

0 y 1，则Y的分布函数为

FY y P Y y =P 0 Y y P 0 sinX y P 0 X arcsiny arcsiny X

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