一个函数图像对称问题的探索(2)

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y0=g(x0)=f(a+x0)+f(b-x0).

数学教学研究　　　　　　　　　　　　2007年第2期

②

由推论2知:g(x)的图像关于,2)成中心对称.

2

x0∈B,由①知:b-a-x0∈B,即g(x)在点x=b

-a-x0处有意义.

例6　讨论函数g(x)=解　由

③

∴g(b-a-x0)

=f[a+(b-a-x0)]+f[b-(b-a-x0)]=f(b-x0)+f(a+x0).

的对称性.x+4

>0得:-4<x<2,x+4

∴g(x)=lg2+lg(2-x)-lg(4).设f(x)lg(2-<f--=lg(x4),gf()---x)+lg2.

由②、③得　y0=g(b-a-x0),

(b-a-x0,y0)在g(x)的图像上,所以函数g即点p′

(x)的图像关于直线x2

对称.

:

推论1　函数f(ax(-于直线x=

:g(x)的图像关于点(-1,lg2)成中.

注　仿上可求得函数y=logm

的对称中ax+b

2

.

定理2　已知函数f(x),函数g(x)=f(a+x)-f(b-x),则函数g(x)的图像关于点(

心,再由原函数与反函数的关系可求得函数y=

的对称中心.x

a m+b

x

2

,0)成中

例7　已知函数f(x)(x∈R),若方程f(x-3)f(1-x)-2=0恰有三个相异实根,求这三根之

心对称.

推论2　函数f(a+x)-f(b-x)+c的图像关于点和.

解　设g(x)=f(x-3)f(1-x)-2,则由推论3知:g(x)的图像关于直线x=2成轴对称,同例4可得:方程g(x)=0的三根之和为6,即方程f(x-3)f(1-x)-2=0的三根之和为6.

2

,c)成中心对称.

定理3　已知函数f(x),函数g(x)=f(a+

x)f(b-x),则函数g(x)的图像关于直线x=

2

成

注　若方程f(x-3)f(1-x)+2=0有实根,则实根的个数必为偶数.参考文献

[1]　高玉凤,郑树文.易混淆的四类图像对称问题

[J].中学数学教学,2004(1).

[2]　张圣官.形似而神异的函数问题辨析[J].中学

轴对称.

推论3　函数f(a+x)f(b-x)+c的图像关于直线x2

成轴对称.

下面举例说明以上定理及推论的应用.

例5　讨论函数g(x)2的对称性.

x-x解　容易验证g(x)=-+2.

x1-x

(x≠0),则f(1-x)设f(x)=,于是x1-xg(x)=f(x)-f(1-x)+2,

2

数学月刊,2004(8).

[3]　劳建祥.几组似是而非的数学“姐妹题”辨析

[J].中学数学教学,2006(1).

[4]

　蒙国锋.两类不同的轴对称问题[J].数学教学

研究,2006(10).

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