2017-2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式(2)

2 基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．

1．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2

＝1，求证：|ax ＋by |≤1.

证明：由柯西不等式，得(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝1，

∴|ax ＋by |≤1.

2.已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数， 求证：(a 1b 1＋a 2b 2)? ??

??a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明：(a 1b 1＋a 2b 2)? ??

??a 1b 1＋a 2b 2 ＝????

??? ????a 1b 12＋? ???? a 2b 22 ≥? ??

??a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2. 3．设a ，b ，c 为正数，求证： a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥ 2(a ＋b ＋c )．

证明：由柯西不等式，得a 2＋b 2·12＋12≥a ＋b ，

即2·a 2＋b 2≥a ＋b .

同理2·b 2＋c 2≥b ＋c ，2·a 2＋c 2≥a ＋c ，

将上面三个同向不等式相加，得

2()a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c )，

∴ a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2

≥ 2·(a ＋b ＋c ).

求函数y ＝ 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值． 由柯西不等式，得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2α)＝25， ∴3sin α

＋4cos α≤5.

当且仅当sin α3＝cos α4>0，即sin α＝35，cos α＝45

时取等号，即函数的最大值为5.

利用柯西不等式求最值

(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；

(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常

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