100测评网高二数学练习卷排列(2)

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例5 7名同学排队照相．

(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？

3名女生，(4)若排成一排照，7人中有4名男生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？

3分析：(1)可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有A7种排法；第二步，4347剩下的4人排在后排，有A4种排法，故一共有A7种排法．事实上排两排与排成?A4?A77一排一样，只不过把第4~7个位子看成第二排而已，排法总数都是A7，相当于7个人的

全排列．(2)优先安排甲、乙．(3)用“捆绑法”．(4)用“插空法”．

347解：(1) A7?A4?A7?5040种．

1(2)第一步安排甲，有A3种排法；第二步安排乙，有A4种排法；第三步余下的5人排在5剩下的5个位置上，有A5种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有115A3?A4?A5?1440种．

1(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的

53全排列问题，有A5种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有A3种排法．由分步计53数原理得，共有A5?A3?720种排法．

(4)第一步，4名男生全排列，有A4种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名

3男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有A5种插入方法．由分步计数原理得，43符合条件的排法共有：A4?A5?1440种．

4说明：(1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列．(2)不相邻问题用“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．

典型例题八

3、4、5、6五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数例8 从2、的和．

分析：可以从每个数字出现的次数来分析，例如“2”，当它位于个位时，即形如

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2的数共有A4个（从3、，当这些数相加时，由“2”4、5、6四个数中选两个填入前面的两个空）2所产生的和是A4?2．当2位于十位时，即形如

2的数也有A4，那么当这些数相加时，

2由“2”产生的和应是A44、5、6?2?10．当2位于面位时，可同理分析．然后再依次分析3、的情况．

解：形如

22的数共有A4个，当这些数相加时，由“2”产生的和是A4形如?2；

2的数也有A422的数也有A4个，当这些数相加时，由“2”产生的和是A4?2?10；形如

2个，当这些数相加时，由“2”产生的和应是A4这样在所有三位数的和中，由“2”?2?100．2224、5、6产生的和分别是A4产生的和是A4?2?111．同理由3、?3?111，A4?4?111，222?111?(2?3?4?5?6)?26640． A4?5?111，A4?6?111，因此所有三位数的和是A4说明：类似于这种求“数字之和”的问题都可以用分析数字出现次数的办法来解决．如“由1,4,5,x四个数字组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，求数x”．本题的特殊性在于，由于是全排列，每个数字都要选用，故每个数字

4均出现了A4?24次，故有24?(1?4?5?x)?288，得x?2．

典型例题九

例9 计算下列各题：

m?1n?mAn?1?An?m(1) A； (2) A； (3) ； n?1An?121566(4) 1!?2?2!?3?3!???n?n! (5)

123n?1 ?????2!3!4!n!2解：(1) A15?15?14?210；

(2) A6?6!?6?5?4?3?2?1?720; (3)原式?6(n?1)!1?(n?m)!?

[n?1?(m?1)!](n?1)!(n?1)!1?(n?m)!??1；

(n?m)!(n?1)!?(4)原式?(2!?1)?(3!?2!)?(4!?3!)???[(n?1)!?n!]

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?(n?1)!?1；

(5)∵

n?111， ??n!(n?1)!n!123n?1 ?????2!3!4!n!?111111111??????????1?． 1!2!2!3!3!4!(n?1)!n!n!∴

说明：准确掌握好排列公式是顺利进行计算的关键．

本题计算中灵活地用到下列各式：

n!?n(n?1)!；nn!?(n?1)!?n!；

n?111；使问题解得简单、快捷． ??n!(n?1)!n!典型例题十

例10 a,b,c,d,e,f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法．对这个题目，A、B、C、D四位同学各自给出了一种算式：A的算式是

161111144A6；B的算式是(A1；C的算式是A6； ?A2?A3?A4?A5)?A4224D的算式是C6．上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由． ?A4解：A中很显然，“a在b前的六人纵队”的排队数目与“b在a前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和．这表明：A的算式正确．

B中把六人排队这件事划分为a占位，b占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到a占位的状况决定了b占位的方法数，第一阶段，当a占据第一个位置

1时，b占位方法数是A5；当a占据第2个位置时，b占位的方法数是A4；??；当a占据

1第5个位置时，b占位的方法数是A1，当a，b占位后，再排其他四人，他们有A4种排法，可见B的算式是正确的．

4C中A6可理解为从6个位置中选4个位置让c,d,e,f占据，这时，剩下的两个位置

14依前后顺序应是a,b的．因此C的算式也正确．

2D中把6个位置先圈定两个位置的方法数C6，这两个位置让a,b占据，显然，a,b占

据这两个圈定的位置的方法只有一种（a要在b的前面），这时，再排其余四人，又有A4种排法，可见D的算式是对的．

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说明：下一节组合学完后，可回过头来学习D的解法．

典型例题十一

例11 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？

解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：

215215A4?A2?A5?A4?A4?A5?8640(种)．

解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法．把“甲坐在第一排的八

17人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是A4．在这种前提下，不合题意的方法是“甲?A711115坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法．”这个数目是A4．其中第一个因数?C2?A3?A4?A5111表示甲坐在第一排的方法数，C2表示从乙、丙中任选出一人的办法数，A3表示把选出A41的这个人安排在第一排的方法数，下一个A4则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排

5的方法数，A5就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为

1711115A4?A7?A4?C2?A3?A4?A5?8640(种)．

说明：解法2可在学完组合后回过头来学习．

典型例题十二

例12 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（ ）．

34524545145A．A4 B．A3 C．C3 D．A2 ?A4?A5?A4?A5?A5?A4?A5解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有A2种排列．但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求．所以共有A2?A4?A5种陈列方式．

∴应选D．

说明：关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列．本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题．

2452典型例题十三

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例13 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）．

A．210 B．300 C．464 D．600

5解法1：（直接法）：分别用1,2,3,4,5作十万位的排列数，共有5?A5种，所以其中

个位数字小于十位数字的这样的六位数有

15?5?A5?300个． 265解法2：（间接法）：取0,1,?,5个数字排列有A6，而0作为十万位的排列有A5，所

以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有

165(A6?A5)?300(个)． 2∴应选B．

说明：(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解．

(2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有6个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧，共有多少种排法．

典型例题十四

例14 用1,2,3,4,5，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）． A．24个 B．30个 C．40个 D．60个

分析：本题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断．

解法1：分类计算．

将符合条件的偶数分为两类．一类是2作个位数，共有A4个，另一类是4作个位数，也有A4个．因此符合条件的偶数共有A4?A4?24个．

解法2：分步计算．

先排个位数字，有A2种排法，再排十位和百位数字，有A4种排法，根据分步计数原理，三位偶数应有A2?A4?24个．

解法3：按概率算．

用1?5这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有A5?60个，其中偶点其中的

31212222222．因此三位偶数共有60??24个． 55解法4：利用选择项判断．

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