江苏省2019高考数学二轮复习 专题八 附加题 第3讲 矩阵与变换、

第3讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程

[考情考向分析] 1.考查常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属B级要求.2.考查直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属B级要求．

热点一 二阶矩阵与平面变换

?1 0?x2y2

例1 已知矩阵A＝??所对应的变换T把曲线C变成曲线C1：4＋2＝1，求曲线C的方

?0 2?

程．

解 设曲线C上任一点为(x，y)， 经过变换T变成(x0，y0)，

?1 0??x??x0?则?? ??＝??，即x0＝x，y0＝2y. ?0 2??y??y0?

由＋＝1，得曲线C的方程为x＋4y＝4. 42

x2y200

22

?x??x′?

思维升华 解决这类问题一般是设变换T：??→??，求出原曲线在T的变换下得到的曲

?y??y′?

线，再根据条件求相应的系数值．

1

?1

跟踪演练1 已知曲线C1：x＋y＝1，对它先作矩阵A＝?

?0

2

2

0?2?

?对应的变换，再作矩阵B＝

?0 ??1

b?

?对应的变换，得到曲线C2：4＋y＝1，求实数b的值． 0?

b??1 0??0 2b?

0?

x2

2

?0

解 从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA＝?

?1

P′(x′，y′)，

则有?

? ??＝??.在曲线C1上任?0 2??1 0?

意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为

?0 2b??x0??x′??2by0??x′?

? ??＝??，即??＝??. ?1 0??y0??y′?? x0??y′?

??2by0＝x′故???x0＝y′，

1??y0＝x′，

2b解得???x0＝y′.

代入曲线C1方程得，y′＋?

2

?1x′?2＝1.

??2b?

?1?222

即曲线C2方程为??x＋y＝1.

?2b?

与已知的曲线C2的方程＋y＝1比较得(2b)＝4.

4所以b＝±1.

热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法 例2 已知点P(3,1)在矩阵A＝?阵A. 解 依题意得?

－1

x2

22

?a 2?

?变换下得到点P′(5，－1)．试求矩阵A和它的逆矩b －1??

?a 2??3??3a＋2?? 5?

? ??＝??＝??，

?b －1??1??3b－1??－1?

?3a＋2＝5，?所以?

??3b－1＝－1，

解得?

?a＝1，???b＝0，

?1 2?

所以A＝??.

?0 －1?

?1 2?

因为det(A)＝??＝1×(－1)－0×2＝－1，

?0 －1??1 2?

所以A＝??.

?0 －1?

－1

思维升华 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序．

2

跟踪演练2 二阶矩阵M对应的变换TM将曲线x＋x－y＋1＝0变为曲线2y－x＋2＝0，求M－1

22

.

2

－1

解 设曲线2y－x＋2＝0上一点P(x，y)在M对应变化下变成P(x′，y′)，

?a

设M＝?

?c

－1

b?

??x′＝ax＋by，

?，所以?

?y′＝cx＋dy，d??

代入x＋x－y＋1＝0得，方程(ax＋by)＋(ax＋by)

22

－(cx＋dy)＋1＝0，

即by＋(a－c)x＋(b－d)y＋2abxy＋ax＋1＝0，与方程y－＋1＝0比较得，a＝0，b＝1，

2

22

22

2

xc＝，d＝1或a＝0， b＝－1，c＝，d＝－1.

12

12

?0 －1??0 1?－1?或M－1＝?1?. 所以M＝?1

? －1?? 1?2???2?

热点三 特征值与特征向量

?1?

例3 已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝??，并且矩阵M对应的变

?1?

换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M；

(2)求矩阵M的另一个特征值．

?a

解 (1)设M＝?

?c

b?

?1??1??a＋b??，M??＝8??＝??， d??1??1??c＋d?

?－1??－2??－a＋2b?M??＝??＝??， ? 2?? 4??－c＋2d?

a＋b＝8，??c＋d＝8，则?－a＋2b＝－2，??－c＋2d＝4，a＝6，??b＝2，解得?c＝4，

??d＝4，

?6 即M＝?

?4

2?4?

?.

?λ－6 －2?

(2)令特征多项式f(λ)＝??

? －4 λ－4?

＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，

3

解得λ1＝8，λ2＝2. 故矩阵M的另一个特征值为2. 思维升华 求矩阵M＝?

?a ?c

b?d?

?就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母

的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法． 跟踪演练3 已知矩阵A的逆矩阵A＝?(1)求矩阵A；

(2)求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解 (1)因为矩阵A是矩阵A的逆矩阵， 且|A|＝2×2－1×1＝3≠0， 21 －??3?1? 2 －1??3

所以A＝?. ?＝

3?－1 2??12??－3 3?－1

－1

－1

－1

?2 ?1

1?2?

?.

?λ－2 －1?－1

(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝??

－1 λ－2??

＝λ－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，

令f(λ)＝0，得矩阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝3，

－1

2

? 1?－1

所以ξ1＝??是矩阵A的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，

?－1??1?－1

ξ2＝??是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．

?1?

热点四 曲线的极坐标方程

??x＝2t，

例4 (2018·江苏冲刺预测)已知曲线C1的参数方程为?

?y＝t－1?

(t为参数)，以原点O为

62＋sinθ

2

极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝(1)求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；

.

π?π1?(2)射线OP：θ＝α?其中0<α

2?2OP?＋1

OQ2

的值．

??x＝2t，

解 (1)因为曲线C1的参数方程为?

?y＝t－1?

(t为参数)，

所以曲线C1的直角坐标方程为x－2y－2＝0，

4

所以曲线C1的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ－2＝0， 因为ρ＝

62＋sinθ

2

，所以ρ(2＋sinθ)＝6，

2

2

22

所以曲线C2的直角坐标方程为2x＋3y＝6. 6?

?ρ＝，2

2＋sinθ(2)依题意得，点P的极坐标满足???θ＝α，2＋sinα

所以OP＝，＝， 22

62＋sinαOP6

?ρ＝，?2＋sinθ

点Q的极坐标满足?

π

θ＝α＋，??2

2

61

2

2＋cosα

所以OQ＝，＝， 22

62＋cosαOQ2＋sinα2＋cosα5

所以2＋2＝＋＝. OPOQ666

思维升华 解决这类问题一般有两种思路：一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．

??x＝acos t，跟踪演练4 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?

?y＝1＋asin t?

61

2

11

22

(t为参数，a>0)．在

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在

C3上，求a.

解 (1)消去参数t得到C1的普通方程为x＋(y－1)＝a(a＞0)，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ－2ρsin θ＋1－a＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

??ρ－2ρsin θ＋1－a＝0，

?

?ρ＝4cos θ.?

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

若ρ≠0，由方程组得16cosθ－8sin θcos θ＋1－a＝0，由已知tan θ＝2，可得16cosθ

5

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库江苏省2019高考数学二轮复习 专题八 附加题 第3讲 矩阵与变换、在线全文阅读。