高中文科数学解析几何专题（教师版）(3)

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又∵点M(a,b)在抛物线x2?4y上，∴a?4b， ∴ x1?x2?16?4，即EG＝4 ∴当M运动时，弦长EG为定值4 例2 解：（Ⅰ）由已知可得2a?4,2a?2c?a?2,c?1,b2?a2?c2?3

x2y2??1，圆的标准方程为(x?1)2?y2?1 ∴椭圆的标准方程为43（Ⅱ）设P(x,y)，则M(4,y),F(1,0)

3x2y2??1?y2?3?x2 ∵P(x,y)在椭圆上∴

443|PF|2?(x?1)2?y2?(x?1)2?3?321x?(x?4)2 44|PM|2?|x?4|2

∴|PF|?1|PM|,|PF|?|PM|, 2（1）若|PF|?|FM|则|PF|?|FM|?PM|这与三角形两边之和大于第三边矛盾 ∴|PF|?|FM|

（2）若|PM|?|FM|,则(x?4)?12?324x，解得x?4或x? 47434315) 15 ∴P(,?∵|x|?2 ∴x? ∴y??77772综上可得存在两点(,43154315)，(,?)使得△PFM为等腰三角形.

7777例3. 解：（I）依题意，圆心的轨迹是以N(0,2)为焦点，L:y??2为准线的抛物线上??2分

因为抛物线焦点到准线距离等于4 所以圆心的轨迹是x?8y

2 11

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（II）解法一：由已知N(0,2)，

????????设A(x1,y1),B(x2,y2).由AN??NB,即得(?x1,2?y1)??(x2,y2?2),

??1???x1??x2故 ???2?y1??(y2?2)?2?

22 将（1）式两边平方并把x1?8y1,x2?8y2代入得y1??2y2 （3）

解（2）、（3）式得y1?2?,y2?2且有x1x2???x2??8?y2??16.

2?，

????8分

121x,求导得y??x. 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 8411y?x1(x?x1)?y1,y?x2(x?x2)?y2,44 11112即y?x1x?x12,y?x2x?x2.4848x?x2x1x2x?x 解出两条切线的交点Q的坐标为(1,)?(12,?2) ??11分

282抛物线方程为y? 所以NO?AB?(x1?x2121212?x12)?4(x2?x1)?0 ,?4)?(x2?x1,y1?y2)?(x22882????13分

所以NQ?AB为定值，其值为0.

解法二：

由已知N（0，2）

?????????设A(x1,y1),B(x2,y2).由AN??NB,知A,N,B三点共线,

?直线AB与x轴不垂直,设AB:y?kx?2.

?y?kx?2,?2由?12可得x?8kx?16?0， x1x2??16

y?x.?8?后面解法和解法一相同 四、练习巩固

DBBDB 6.

????8分

x2y2??17. (x?1)?y?2 8.p=2 9. 2 10.

412

2212

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解答题1.

13

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2. 解：（1）由x?8(y?b)得y?212x?b 8

当y?b?2时，x??4，?G点的坐标为(4，b?2)

y??1x，y?|x?4?1 4过点G的切线方程为y?(b?2)?x?4，即y?x?b?2，

，0)； 令y?0得x?2?b，?F1点的坐标为(2?b 14

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由椭圆方程得F0)， 1点的坐标为(b，?2?b?b，即b?1，

x2?y2?1和x2?8(y?1)． 因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为2（2）?过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P， ?以?PAB为直角的Rt△ABP只有一个， 同理以?PBA为直角的Rt△ABP只有一个；

若以?APB为直角，设P点的坐标为?x，x?1?，则A，B坐标分别为(?2，，0)(2，0)

2????????1452?12?2x?x?1?0， 由AB?AB?x?2??x?1??0得644?8???182??关于x的一元二次方程有一解，?x有二解，即以?APB为直角的Rt△ABP有二个； 因此抛物线上共存在4个点使△ABP为直角三角形．

2x2y23. 【解析】（1）设椭圆G的方程为：2?2?1 （a?b?0）半焦距为c;

ab?2a?12??a?6?222 则?c , ?b?a?c?36?27?9 3 , 解得???c?33??2?ax2y2??1. 所求椭圆G的方程为：

369(2 )点AK的坐标为??K,2? SVAKF1F2?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11?F1F2?2??63?2?63 2222（3）若k?0，由6?0?12k?0?21?5?12kf0可知点（6，0）在圆Ck外，

22 若k?0，由(?6)?0?12k?0?21?5?12kf0可知点（-6，0）在圆Ck外；

?不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G.

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