2015考研数学一真题带详细答案解析[网络版本]

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线y?f(x)的拐点的个数为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2)设y?12x1e?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程23y???ay??by?cex的一个特解，则

( )

(A) a??3,b?2,c??1 (B) a?3,b?2,c??1 (C) a??3,b?2,c?1 (D) a?3,b?2,c?1

(3) 若级数

?an?1?n条件收敛，则 x?3与x?3依次为幂级数

?na(x?1)nn?1?n的

( )

(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点

(4) 设D是第一象限由曲线2xy?1，4xy?1与直线y?x，y?3x围成的平面区域，函数f?x,y?在D上连续，则( )

1

??f?x,y?dxdy?

D?(A)

???d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr

(B)

??d??341sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??dr

?(C)

??d??34?(D)

??d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr

?1??111????? (5) 设矩阵A?12a，b??d?，若集合???1,2?，则线性方程组

???14a2??d2?????Ax?b有无穷多解的充分必要条件为

( )

(A) (B) (C) (D)

a??,d?? a??,d?? a??,d?? a??,d??

222(6)设二次型f?x1,x2,x3? 在正交变换为x?Py 下的标准形为2y1 ，?y2?y3其中P??e1,e2,e3? ，若Q??e1,?e3,e2? ，则f?x1,x2,x3?在正交变换x?Qy下的标准形为 ( )

222(A) 2y1 ?y2?y3222(B) 2y1 ?y2?y3222(C) 2y1 ?y2?y3222(D) 2y1 ?y2?y3

(7) 若A,B为任意两个随机事件，则 ( )

(A) P?AB??P?A?P?B? (B) P?AB??P?A?P?B?

P?A?P?B?P?A?P?B?(C) P?AB?? (D) P?AB??

222

? (8)设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3，则E??X?X?Y?2???( )

(A) ?3 (B) 3 (C) ?5 (D) 5

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) lim (10)

(11)若函数z?z(x,y)由方程ex?xyz?x?cosx?2确定，则dz

(12)设?是由平面x?y?z?1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则

(0,1)lncosx?_________.

x?0x2sinx(???21?cosx?x)dx?________.

2??________.

???(x?2y?3z)dxdydz?__________.

?

2(13)

00022?___________.

?12n阶行列式

000022?12

;1,1,0)，则P{XY?Y?0}?________. (14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,0

三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证．．．明过程或演算步骤.

3(15)(本题满分10分) 设函数f?x??x?aln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx，若f?x?与

g?x?在x?0是等价无穷小，求a,b,k的值.

3

(16)(本题满分10分) 设函数f?x?在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0?I，由线

y=f?x?在点?x0,f?x0??处的切线与直线x?x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且

f?0??2，求f?x?的表达式.

(17)(本题满分10分)

已知函数f?x,y??x?y?xy，曲线C：x2?y2?xy?3，求f?x,y?在曲线C上的最大方向导数.

(18)(本题满分 10 分)

??u?vx)](x)(vx)?u(x)v?(x) （I）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)(（II）设函数u1(x),u2(x),导公式.

(19)(本题满分 10 分)

,un(x)可导，f(x)?u1(x)u2(x)un(x)，写出f(x)的求

??z?2?x2?y2, 已知曲线L的方程为?起点为A0,2,0，终点为B0,?2,0，

??z?x,????计算曲线积分I?

??y?z?dx??zL2?x2?y?dy?(x2?y2)dz.

(20) (本题满11分)

设向量组α1,α2,α3内R的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+?k+1?α3.

3（I）证明向量组?1?2?3为R3的一个基;

4

（II）当k为何值时，存在非0向量ξ在基α1,α2,α3与基?1有的ξ.

(21) (本题满分11 分)

?2?3下的坐标相同，并求所

?02?3??1?20?????设矩阵A???13?3?相似于矩阵B=?0b0?.

?1?2a??031?????(I)

求a,b的值；

?1（II）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵..

?x?2?ln2,x?0,(22) (本题满分11 分) 设随机变量X的概率密度为f?x???

x?0.??0,对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数.

(I)求Y的概率分布; (II)求EY

(23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为：

?1,??x?1,? f(x,?)??1???0,其他.?其中?为未知参数，x1,x2,(I)求?的矩估计量.

(II)求?的最大似然估计量.

,xn为来自该总体的简单随机样本.

5

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