金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]汇编

第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解：

S? 1000s20|7%?Xs10|700s20|7%X?50000?? 651.72s10|7%

2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解： 设首次付款为X ，则有

1000?X?250a48|1.5%

解得X = 1489.36

3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i = 1

。试计算该年金的现值。 解：

1?vn(n? 1)nn2?nn?2PV?nan|i?n?

1(n? 1)nnY?X1)n 4．解： a2n??an??an?(1?d)则d? 1?(Xn5．已知：a7?? 5.58238, a11?? 7.88687, a18?? 10.82760。计算i。 解：

a18??a7??a11?v7解得i = 6.0%

s10??a??1?6.证明： 1?v10s10?证明：

(1?i)10?11?s10??a??ii?1

?(1?i)10?1s10?1?v10i7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解：

PV?100a8p]3%?100a20]3%? 2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，

后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解： 设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日

?25]800?s￢?Xa15]7% 解得X = 8101.65

9．已知贴现率为10%，计算a??8]。 解： d = 10%，则

i?11?1 ?1?d9 81?v??8]? (1 ?i)a? 5.6953i10.求证：

??n]?an]? 1?vn；?1?a?2?s?n]?sn]?1 ? (1 ?i)n 并给出两等式的实际解释。

1?vn1?vn1?vnn???? 1?v证明： (1)a¨ n]idi1?in所以a¨ ?a? 1?vn]n](1?i)n?1(1?i)n?1(1?i)n?1n (2)s¨??? (1 ?i)?1 n]?idi1?in所以a¨n]?sn]?1 ? (1 ?i) 12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。 解：

PV = 100a49】1.5% ? 100a 2]1.5% = 3256.88 AV = 100s49]1.5% ? 100s2]1.5% ￢ = 6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每 年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金

1额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v10?

2，计算Y 。

解： 因两种年金价值相等，则有

a30]i?a10]i?v10?Y a30]i??Y a10]i?v10

3?v10?2v30? 1.8 所以Y?1?v10?2v3014.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。 解： 由题意知，

2a2n]i? 3an]i? 362an]iv? 6n

解得i = 8.33% 15.已知

a7]a11]?a3]?sX]aY]?sZ]。求X，Y和Z。

解： 由题意得

1?v7(1 ?i)X?v3 ?1?v11(1 ?i)Z?vY解得

X = 4, Y = 7,Z = 4 16.化简a15](1 ?v15?v30)。 解：

a15](1 ?v15?v30) ?a45]

17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一 次2000元，半年结算名利率9%。

解： 年金在4月1日的价值为P = (1+4.5%)/4.5% × 2000 = 46444.44 ，则

PV?P(1 ?i)2?23? 41300.657

18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。 解： 设递延时间为t，有

1lniPP?vt解得t??

iln(1?i)19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一

定的金额X，直至永远。计算X。

解： 设年实利率为i，由两年金的现值相等，有

X??20]i?v29 1000ai解得X? 1000((1 ?i)30?(1 ?i)10)

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人 平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相

同。计算(1 ?i)n。

解： 设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值 i为an]i，而D得到遗产的现值为vn。由题意得 31?vn?vn所以(1 ?i)n? 4 321.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二

个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49， 求B与D的份额之比。 解： 由题意知

2nPVCan]v?? 0.49 PVAan]nPVBan]v那么?13n? 0.61

PVDiv22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。 解： ??

100an]4.5%v4?1000100an?1]4.5%v?10004解得n = 17

列价值方程

100a16]4.5%?Xv21 ? 1000解得X = 146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果

以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。 解： 两年金现值相等，则4?a36]i? 5?18，可知v18? 0.25 由题意，(1 ?i)n? 2 解得n = 9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一 次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。 解： 由题意可得方程

100a60p1% ￢ = 6000(1 + i)?k 解得k = 29

25.已知a2]i? 1.75，求i。 解： 由题意得

1?v2? 1.75i解得i = 9.38%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年

的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解：

27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。 解： 由题意可得价值方程

10000 ? 105Ka2]4%v3?Ka2]4%? 10000v1010000?10000v10则K?? 979.94105a2]4%v3?a2]4%v5

28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。 解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程

P(1 ?i)?X? 2Xa4]i? 2Xa5]j(1 ?i)?4P(1 ?i)所以X?1 ?2a4]i?2a5]j(1 ?i)?41212

29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。 解：

30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知 年利率为12%。（缺命令） 解：

PV? 4?400 ? 4?600v5? 11466.14

31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现 值表达式。 解：

32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解：

a28]?a4]1(1 ?i)24?13 PV?a24]iv??274s4]i(1 ?i)[(1 ?i)?1]s3]?s1]33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。

解： 设年实利率为i，则(1 + 2%)2 = 1 + i。有题意得

750750??Ra30]i is20]pii解得R = 1114.77

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。

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