概率论与数理统计复习

第一章 随机事件与概率

一、填空题

1．设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生

3）A、B、C不多于一个发生

2．设 A、B为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。则P(B?A)＝ 3．若事件A和事件B相互独立, P(A)=?,P(B)=0.3，P(A?B)=0.7,则?? 4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为

5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为

6.设随机事件A、B相互独立，且P (A)=0.5，P(B)=0.2，则P(A?B)= 7.设随机事件A、B互不相容，且P (A)=0.5，P(B)=0.2，则P(A?B)= 二、选择题

1. 设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是 （A）P (A+B) = P (A); （B）P(AB)?P(A);

（C）P(B|A)?P(B); （D）P(B?A)?P(B)?P(A)

2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为 （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”

（C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是

（A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5 4. 对于事件A，B，下列命题正确的是 （A）若A，B互不相容，则A与B也互不相容。 （B）若A，B相容，那么A与B也相容。

（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。 （D）若A，B相互独立，那么A与B也相互独立。

5. 若P(BA)?1，那么下列命题中正确的是

（A）A?B （B）B?A （C）A?B?? （D）P(A?B)?0 6.对于任意两个事件A与B,则必有P(A-B)= ( ).

A．P(A)-P(AB) B．P(A)-P(B)+P(AB) C．P(A)-P(B) D．P(A)+P(B) 三、计算题

1． 10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

2． 一袋中装有8个球，其中3个红球，5个黑球，随机地抽取一个球，观察颜色后放回袋中，并且

再加进2个与所抽出的球具有相同颜色的球，然后再从袋中取出一球. （1）在已知第一次取出的是黑球的条件下，求第二次取出的仍是黑球的概率； （2）两次取出的均是黑球的概率； （3）第二次取到的是黑球的概率。

1

3．一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一

件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？

4．有标号1～n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第

二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。

5．已知男子有5%是色盲患者，女子有2%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一

人，恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少？

四、证明题

设A，B是两个事件，满足P(BA)?P(BA)，证明事件A，B相互独立。

第二章 随机变量及其分布

一、 填空题

1）设离散型随机变量X分布律为P{X?k}?5A(1/2)k(k?1,2,???)则A=______________

?ax?b,0?x?12) 已知随机变量X的密度为f(x)??,且P{x?1/2}?5/8,则a?________ b?________

0,其它?3）设X～N(2,?2),且P{2?x?4}?0.3,则P{x?0}? _________

4) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为

80，则该射手的命中率为81_________

5）若随机变量?在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+?x+1=0有实根的概率是 二、 选择题

1) 设X～N(?,?2),那么当?增大时，P{X????}? A）增大 B）减少 C）不变 D）增减不定。

2）设X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，且f(x)?f(?x)。那么对任意给定的a都有

aa1 A）f(?a)?1??f(x)dx B） F(?a)???f(x)dx

020 C）F(a)?F(?a) D） F(?a)?2F(a)?1 3）下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 111 A）F(x)?1?2 B） F(x)??arctanx

x2??1?xx???(1?e),x?0 C）F(x)??2 D） F(x)??f(t)dt，其中?f(t)dt?1

?????0,x?0?4) 假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是

A）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).

?Ae?x,x??5）已知随机变量X的密度函数f(x)=?(?>0,A为常数)，则概率P{??X0）的值

x???0, A）与a无关，随?的增大而增大 B）与a无关，随?的增大而减小

C）与?无关，随a的增大而增大 D）与?无关，随a的增大而减小

?x0?x?A6）设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??, 则常数A?( ).

0其他?A．1 B．2 C．2 D．4

7）某人射击中靶的概率为p(0?p?1),则在第2次中靶之前已经失败3次的概率

2

为( ).

A．4p2(1?p)3 B．4p(1?p)3 C．10p2(1?p)3 D．p2(1?p)3

三、 解答题

1）从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回 （2）不放回 2）设随机变量X的密度函数为f(x)?Ae?x (???x???), 求 (1）系数A, (2) P{0?x?1}

(3) 分布函数F(x)。

3）对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内。求体积的密度函数。

4）设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

5) 设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-??x???). 求：（1）系数A与B；

（2）X落在（-1，1）内的概率； （3）X的分布密度。 6)设离散型随机变量X分布律为 0 ?1 X 1 4 pk 0.1 0.2 a 0.4 （1）求常数a;（2）设Y?X2,求Y的分布律;

7)已知随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，求Y?3X?1的概率密度函数.

第三章 多维随机变量及其分布

一、填空题

341）设P{X?0,Y?0}?，P{X?0}?P{Y?0}?，则P{max{X,Y}?0}? \\ 772)用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a?X?b,Y?c}? 3）用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X?a,Y?b}?

4）设平面区域D由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为 二、选择题

Xi011）X1,X2独立,且分布率为 1/ 2 1/ 2 (i?1,2,那么下列结论正确的是 )P A）X1?X2??Ｂ）P{X1?X2}?1??C）?P{X1?X2}?1?Ｄ）以上都不正确 22)那么(X,Y)的联合分布为 2）若X～(?1,?12)，Y～(?2,?2 A） 二维正态，且??0 B）二维正态，且?不定 C） 未必是二维正态 D）以上都不对

3）设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是

A）FZ（z）= max { FX(x),FY(y)}; B) FZ（z）= max { |FX(x)|,|FY(y)|} C) FZ（z）= FX（x）·FY(y) D)都不是

4）下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

3

????1?cosx,??x?,0?y?1?cosx,??x?,0?y? A）f(x,y)=? B) g(x,y)=?22222

0,0,??其他其他1?cosx,0?x??,0?y?1?cosx,0?x??,0?y? C) ?(x,y)=? D) h(x,y)=?2

0,0,其他??其他三、解答题

1） 把一枚均匀的硬币连抛三次，以X表示出现正面的次数，Y表示正、反两面次数差的绝对值 ，

求(X,Y)的联合分布律与边缘分布。

xy2） 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)

23求（1）A、B、C的值， （2）(X,Y)的联合密度， （3） 判断X、Y的独立性。

?Ae?(3x?4y),x?0,y?03）设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=?,

其他0,?求 （1）系数A；（2）落在区域D：{0?x?1,0?y?2}的概率。 4） 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x， （1）求系数A，（2）求(X,Y)的联合分布函数。 5）上题条件下：（1）求关于X及Y的边缘密度。 （2）X与Y是否相互独立？ 6）在第4）题条件下，求f(yx)和f(xy)。

7）设随机变量(X,Y)分布律为

X Y 0 1 2 ?1 0.00 0.10 0.10 0 0.05 0.10 0.15 1 0.05 0.15 0.00 2 0.20 0.05 0.05 （1）求X和Y边缘分布律;（2）求U?max(X,Y)的分布律.

?4xy,0?x?1,0?y?18）设X,Y的联合概率密度函数为：f(x,y)??求（1）X,Y的边缘概率密度函数;

?0,其它第四章随机变量的数字特征

一、

填空题

221） 已知X~N(?2,0.4)，则E(X?3)＝ 2） 设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则D(3X?Y)? 3） 设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参

数为?=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 4） 设D(X)?25,D?Y??36,?xy?0.4，则D(X?Y)? 5） 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX?EX?2?? 6）若已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4，DX=1.44，则二项分布的参数n, p的值为 .

二、 选择题

1）掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为 A） 50 B） 100 C）120 D） 150 2） 设X1,X2,X3相互独立同服从参数??3的泊松分布，令Y?1(X1?X2?X3)，则E(Y2)? 3 A）1. B）9. C）10. D）6.

4

3） 对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)?E(Y)，则 A）D(XY)?D(X)?D(Y) B）D(X?Y)?D(X)?D(Y) C）X和Y独立 D）X和Y不独立

4）设??P(?)(Poission分布)，且E??(X?1)?X?2????1，则?= A）1， B）2， C）3， D）0

5) 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X?Y)?D?X??D?Y?是X和Y的 A）不相关的充分条件，但不是必要条件； B）独立的必要条件，但不是充分条件； C）不相关的充分必要条件； D）独立的充分必要条件 6) 设随机变量X~ N (0,1)、 Y~ N (1,4)且相关系数?XY =1，则 .

(A) P{Y=-2X-1}=1 (B) P{Y=2X-1} =1 (C) P{Y=-2X+1}=1 (D) P{Y=2X+1} =1

三、解答题

1） 盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。

?4xy,0?x?1,0?y?12）设X,Y的联合概率密度函数为：f(x,y)??

0,其它?求(1)X,Y的边缘概率密度函数;(2)E(X)、E(Y);(3)COV(X,Y)

3) 设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=?求：① 常数k.. ② E?XY?及D(XY). 4)

?k,0?x?1,0?y?x

其他?0, 已知X~ N (1,9)、 Y~ N (0,16)且X与Y相关系数?

XY = -1/2，设Z?11X?Y， 32求(1) E(Z),D(Z) (2) X与Z的相关系数?XZ

数理统计部分

一、填空题

21）设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，令Y?(X1?X2)?(X3?X4), 则当C? 时22CY～?2(2)。

2）设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

1n3）设X1,X2,…Xn为来自正态总体??N(?,?)的一个简单随机样本，则样本均值????i服从

ni?124）设总体X～b(n,p),0?p?1,X1,X2,???,Xn为其子样，n及p的矩估计分别是 5）设总体X～U?0,??,(X1,X2,???,Xn)是来自X的样本，则?的最大似然估计量是 6）设总体X～N(?,0.9)，X1,X2,???,X9是容量为9的简单随机样本，均值x?5，则未知参数?的置信水平为0.95的置信区间是

7）设X1,X2,???,Xn是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本，?和?2均未知，记

n1n2X??Xi,???(Xi?X)2,则假设H0:??0的t检验使用统计量T＝ ni?1i?122二、选择题

1）设X～N(?,?)其中?已知，?未知，X1,X2,X3样本，则下列选项中不是统计量的是 A）X1?X2?X3 B）max{X1,X2,X3} C）

222??i?13Xi22 D）X1??

22）若X～t(n)那么X～ A）F(1,n) B）F(n,1) C）?(n) D）t(n)

1n(Xi?X)2，3）设X1,X2,?Xn为来自正态总体N(?,?)简单随机样本，X是样本均值，记S??n?1i?1221 5

1n1n1n2222S??(Xi?X)，S3?(Xi??)，S4??(Xi??)2，则服从自由度为n?1的t分布的随机变量?ni?1n?1i?1ni?122是 A) t?X??S1/n?1 B) t?X??S2/n?1 C) t?X??S3/n D) t?X??S4/nn

4）设X1,X2,…Xn，Xn+1, …,Xn+m是来自正态总体N(0,?)的容量为n+m的样本，则统计量V?2m??i2n??i2i?n?1i?1n?m服从的分布

是 A) F(m,n) B) F(n?1,m?1) C) F(n,m) D) F(m?1,n?1) 5）设X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个简单样本，则E(X)的矩估计是 221n1n22222（A）S?(Xi?X)（C）S1?X（D）S2?X ?(Xi?X)（B）S2?n?n?1i?1i?12216）总体X～N(?,?)，?2已知，n? 时，才能使总体均值?的置信水平为0.95的置信区间长不大于L （A）15?2/L2 （B）15.3664?2/L2 （C）16?2/L2 （D）16

2?7）设X1,X2,???,Xn为总体X的一个随机样本，E(X)??,D(X)??，??C?(Xi?1?Xi)2为 ?2的无偏估计，

22n?1i?1C＝ （A）1/n （B）1/n?1 （C） 1/2(n?1) （D） 1/n?2

8）在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用

（A）t检验法 （B）Z检验法 （C）F检验法 （D）?检验法 9）在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有

（A）样本值与样本容量 （B）显著性水平? （C）检验统计量 （D）A,B,C同时成立

10）对正态总体的数学期望?进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H0:???0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是

（A）必须接受H0 （B）可能接受，也可能拒绝H0（C）必拒绝H0 （D）不接受，也不拒绝H0 三、解答题

21）设总体X服从正态分布，又设X与S分别为样本均值和样本方差，又设Xn?1?N(?,?)，且Xn?1与X1,X2,???,Xn22相互独立，求统计量

Xn?1?XSn的分布。 n?1??x??1,0?x?12）设X1,X2,???,Xn为总体X的一个样本, X的密度函数f(x)??，??0求参数?的矩估计量和

其他?0,最大似然估计量。

3）设X服从参数为?的泊松分布，X1,X2,???,Xn为总体X的一个样本,试求参数?的矩估计与最大似然估计。

4）设总体 X 的分布律如下

其中?(0

6

x1?1,x2?2,x3?1,x4?3x,5?x6?3,x7?3,x8?2,x9?1x,10?

12

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