（精校版）上海市文数卷文档版（+有答案）-2015年普通高等学校招

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文

2015年上海市文科试题

╠2一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）

1.函数\\[f(x) = 1 - 3si{n^2}x\\]的最小正周期为【】.

2.设全集\\[U = {\\rm{R}}\\].若集合\\[A = \\{ 1,2,3,4\\} \\]，\\[B = \\{ x|2 \\le x < 3\\} \\]，则\\[A \\cap ({C_U}B) = \\]【】.

3.若复数\\[z\\]满足\\[3z + \\overline z = 1 + i\\]，其中\\[i\\]是虚数单位，则\\[z = \\]【】. 4.设\\[{f^{ - 1}}(x)\\]为\\[f(x) = \\frac{x}{{2x + 1}}\\]的反函数，则\\[{f^{ - 1}}(2) = \\]【】. 5.若线性方程组的增广矩阵为\\[\\left( \\begin{array}{l} 2\\\\ 0

\\end{array} \\right.\\]\\[\\begin{array}{l} 3\\\\ 1

\\end{array}\\]\\[\\left. \\begin{array}{l} {c_1}\\\\ {c_2}

\\end{array} \\right)\\]解为\\[\\left\\{ \\begin{array}{l} x = 3\\\\ y = 5

\\end{array} \\right.\\]，则\\[{c_1} - {c_2} = \\]【】.

6.若正三棱柱的所有棱长均为\\[a\\]，且其体积为\\[16\\sqrt 3 \\]，则\\[a = \\]【】.

7.抛物线\\[{y^2} = 2px(p > 0)\\]上的懂点\\[Q\\]到焦点的距离的最小值为1，则\\[p = \\]【】. 8. 方程\\[{\\log _2}({9^{x - 1}} - 5) = {\\log _2}({3^{x - 1}} - 2) + 2\\]的解为【】. 9.若\\[x,y\\]满足\\[\\left\\{ \\begin{array}{l} x - y \\ge 0\\\\ x + y \\le 2\\\\ y \\ge 0

\\end{array} \\right.\\]，则目标函数\\[f = x + 2y\\]的最大值为【】.

10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 【】（结果用数值表示）.

11.在\\[{(2x + \\frac{1}{{{x^2}}})^6}\\]的二项式中，常数项等于【】（结果用数值表示）.

x2?y2?1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一12.已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为4条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为【】

13.已知平面向量\\[\\overrightarrow a \\]、\\[\\overrightarrow b \\]、\\[\\overrightarrow c \\]满足\\[\\overrightarrow a \\bot \\overrightarrow b \\]，且\\[\\{ |\\overrightarrow a |,|\\overrightarrow b |,|\\overrightarrow c |\\} = \\{ 1,2,3\\} \\]，则\\[|\\overrightarrow a + \\overrightarrow b + \\overrightarrow c |\\]的最大值是【】

14.已知函数\\[f(x) = \\sin x\\].若存在\\[{x_1}\\]，\\[{x_2}\\]，\\[ \\cdot \\cdot \\cdot \\]，\\[{x_m}\\]满足\\[0 \\le {x_1} < {x_2} < \\cdot \\cdot \\cdot < {x_m} \\le 6\\pi \\]，且\\[|f({x_1}) - f({x_2})| + |f({x_2}) - f({x_3})| + \\cdot \\cdot \\cdot + |f({x_{m - 1}}) - f({x_m})| = 12\\]\\[(m \\ge 12,m \\in {{\\bf{N}}^ * })\\]，则\\[m\\]的最小值为【】 ╣╠1

二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.

15. 设\\[{z_1}\\]、\\[{z_2} \\in {\\bf{C}}\\]，则“\\[{z_1}\\]、\\[{z_2}\\]均为实数”是“\\[{z_1} - {z_2}\\]是实数”的（ ）.

A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

16. 下列不等式中，与不等式\\[\\frac{{x + 8}}{{{x^2} + 2x + 3}} < 2\\]解集相同的是（ ）. A. \\[(x + 8)({x^2} + 2x + 3) < 2\\] B. \\[x + 8 < 2({x^2} + 2x + 3)\\] C. \\[\\frac{1}{{{x^2} + 2x + 3}} < \\frac{2}{{x + 8}}\\] D. \\[\\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 8}} > \\frac{1}{2}\\]

17. 已知点 \\[A\\]的坐标为\\[(4\\sqrt 3 ,1)\\]，将\\[OA\\]绕坐标原点\\[O\\]逆时针旋转\\[\\frac{\\pi }{3}\\]至\\[OB\\]，则点\\[B\\]的纵坐标为（ ）.

A.\\[\\frac{{3\\sqrt 3 }}{2}\\] B. \\[\\frac{{5\\sqrt 3 }}{2}\\]

C. \\[\\frac{{11}}{2}\\] D. \\[\\frac{{13}}{2}\\] 18. 设\\[{P_n}({x_n},{y_n})\\]是直线\\[2x - y = \\frac{n}{{n + 1}}(n \\in {{\\bf{N}}^ * })\\]与圆\\[{x^2} + {y^2} = 2\\]在第一象限的交点，则极限\\[\\mathop {\\lim }\\limits_{n \\to \\infty } \\frac{{{y_n} - 1}}{{{x_n} - 1}} = \\]( ).

A. \\[ - 1\\] B. \\[ - \\frac{1}{2}\\] C. \\[1\\] D. \\[2\\]

╣

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分)

如图，圆锥的顶点为\\[P\\]，底面圆为\\[O\\]，底面的一条直径为\\[AB\\]，\\[C\\]为半圆弧AB的中点，\\[E\\]为劣弧CB的中点，已知\\[PO = 2,OA = 1\\]，求三棱锥\\[P - AOC\\]的体积，并求异面直线\\[PA\\]和\\[OE\\]所成角的大小.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数\\[f(x) = a{x^2} + \\frac{1}{x}\\]，其中\\[a\\]为常数

(1)根据\\[a\\]的不同取值，判断函数\\[f(x)\\]的奇偶性，并说明理由； (2)若\\[a \\in (1,3)\\]，判断函数\\[f(x)\\]在\\[[1,2]\\]上的单调性，并说明理由.

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，\\[O,P,Q\\]三地有直道相通，\\[OP = 3\\]千米，\\[PQ = 4\\]千米，\\[OQ = 5\\]千米，现甲、乙两警员同时从\\[O\\]地出发匀速前往\\[Q\\]地，经过\\[t\\]小时，他们之间的距离为\\[f(t)\\]（单位：千米）.甲的路线是\\[OQ\\]，速度为\\[5\\]千米/小时，乙的路线是\\[OPQ\\]，速度为\\[8\\]千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设\\[t = {t_1}\\]时，乙到达\\[P\\]地，\\[t = {t_2}\\]时，乙到达\\[Q\\]地.

(1)求\\[{t_1}\\]与\\[f({t_1})\\]的值；

(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当\\[{t_1} \\le t \\le {t_2}\\]时，求\\[f(t)\\]的表达式，并判断\\[f(t)\\]在\\[[{t_1},{t_2}]\\]上的最大值是否超过3？说明理由.

22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知椭圆\\[{x^2} + 2{y^2} = 1\\]，过原点的两条直线\\[{l_1}\\]和\\[{l_2}\\]分别与椭圆交于点\\[A\\]、\\[B\\]和\\[C\\]、\\[D\\]，记\\[\\Delta AOC\\]的面积为\\[S\\].

(1)设\\[A({x_1},{y_1}),C({x_2},{y_2})\\]，用\\[A\\]、\\[C\\]的坐标表示点\\[C\\]到直线\\[{l_1}\\]的距离，并证明\\[S = \\frac{1}{2}\\left| {{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \\right|\\]；

（2）设\\[{l_1}:y = kx\\]，\\[C\\left( {\\frac{{\\sqrt 3 }}{3},\\frac{{\\sqrt 3 }}{3}} \\right)\\]，\\[S = \\frac{1}{3}\\]，求\\[k\\]的值;

(3)设\\[{l_1}\\]与\\[{l_2}\\]的斜率之积为\\[m\\]，求\\[m\\]的值，使得无论\\[{l_1}\\]和\\[{l_2}\\]如何变动，面积\\[S\\]保持不变.

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.

已知数列\\[\\left\\{ {{a_n}} \\right\\}\\]与\\[\\left\\{ {{b_n}} \\right\\}\\]满足\\[{a_{n + 1}} - {a_n} = 2({b_{n + 1}} - {b_n}),n \\in N*\\].

(1)若\\[{b_n} = 3n + 5,\\]且\\[{a_1} = 1\\],求\\[\\left\\{ {{a_n}} \\right\\}\\]的通项公式;

(2)设\\[\\left\\{ {{a_n}} \\right\\}\\]的第\\[{n_0}\\]项是最大项,即\\[{a_{{n_0}}} \\ge {a_n}(n \\in N*)\\],求

证:\\[\\left\\{ {{b_n}} \\right\\}\\]的第\\[{n_0}\\]项是最大项;

(3)设\\[{a_1} = 3\\lambda < 0\\],\\[{b_n} = {\\lambda ^n}(n \\in N*)\\],求\\[\\lambda \\]的取值范围,使得对任意\\[m,n \\in N*\\]，\\[{a_n} \\ne 0\\]，且\\[\\frac{{{a_m}}}{{{a_n}}} \\in \\left( {\\frac{1}{6},6} \\right)\\] 答案 ╠A一、（第1题至第14题） 1. \\[\\pi \\] 2.{1.4}

3. \\[\\frac{1}{4} + \\frac{1}{2}i\\] 4. \\[ - \\frac{2}{3}\\] 5.16 6. 4 7. 2 8. 2

9. 3

10. 120 11.240

12. \\[\\frac{{{x^2}}}{4} - \\frac{{{y^2}}}{4} = 1\\] 13. \\[3 + \\sqrt 5 \\] 14.8 二、（第15题至第18题） 15 .A 16.B 17.D 18.A ╣ 三、（第19题至第23题）

19.[解] \\[{V_{P - AOC}} = \\frac{1}{3} \\times \\frac{1}{2} \\times 2 = \\frac{1}{3}\\]

因为\\[AC\\parallel OE\\],所以\\[\\angle PAC\\]为异面直线\\[PA\\]与\\[OE\\]所成的角或其补角

由\\[PO = 2,OA = OC = 1\\],得\\[PA = PC = \\sqrt 5 \\],\\[AC = \\sqrt 2 \\]

在PAC中，由余弦定理得\\[\\cos \\angle PAC = \\frac{{\\sqrt {10} }}{{10}}\\],故异面直线\\[PA\\]与\\[OE\\]所成的角的大小为\\[\\arccos \\frac{{\\sqrt {10} }}{{10}}\\]

20.[解]（1）\\[f(x)\\]的定义域为\\[\\{ x\\left| {x \\ne 0,x \\in R\\} } \\right.\\],关于原点对称， \\[f( - x) = a{( - x)^2} + \\frac{1}{{ - x}} = a{x^2} - \\frac{1}{x}\\]， 当\\[a = 0\\]时，\\[f( - x) = - f(x)\\]为奇函数

当\\[a \\ne 0\\]时，由\\[f(1) = a + 1,f( - 1) = a - 1\\]，知\\[f( - 1) \\ne - f(1)\\]，故\\[f(x)\\]即不是奇函数也不是偶函数。

（2）设1?x1＜x2?2，则

\\[f({x_2}) - f({x_1}) = a{x_2}^2 + \\frac{1}{{{x_2}}} - a{x_1}^2 - \\frac{1}{{{x_1}}} = ({x_2} -

{x_1})\\left[ {a({x_1} + {x_2}) - \\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}} \\right]\\]， 由1?x1＜x2?2，得\\[{x_2} - {x_1}\\]＞0， 2＜\\[{x_{_1}} + {x_2}\\]＜4, 1＜\\[{x_{_1}}{x_2}\\]＜4，

?1＜?11＜-，又1＜\\[a\\]＜3,所以2＜\\[a({x_1} + {x_2})\\]＜12, x1x24得\\[a({x_1} + {x_2})\\]-\\[\\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}\\]＞0，从而\\[f({x_2}) - f({x_1})\\]＞0，即f(x2)＞f(x1)，故当\\[a \\in (1,3)\\]时，

\\[f(x)\\]在[1,2]上单调递增。

21.[解]（1）\\[{t_1} = \\frac{3}{8}\\]

记乙到P时甲所在地为R，则OR=\\[\\frac{{15}}{8}\\]千米。 在OPR中，PR2=OP2+OR22OP·ORcos\\[\\angle \\]O,所以\\[f({t_1}) = PR = \\frac{3}{8}\\sqrt {41} \\]（千米） （2）\\[{t_2} = \\frac{7}{8}\\],

如图建立平面直角坐标系。设经过\\[t\\]小时，甲、乙所在位置分别为M,N.

当\\[t \\in \\left[ {\\frac{3}{8},\\frac{7}{8}} \\right]\\]时，\\[M(3t,4t),N(3,8t - 3),\\] \\[f(t) = \\sqrt {{{(3t - 3)}^2} + {{( - 4t + 3)}^2}} = \\sqrt {25{t^2} - 42t + 18} \\]

\\[f(t)\\]在\\[\\left[ {\\frac{3}{8},\\frac{7}{8}} \\right]\\]上的最大值是\\[f\\left( {\\frac{3}{8}} \\right) = \\frac{{3\\sqrt {41} }}{8}\\]，不超过3

22.[证]（1）直线\\[{l_1}\\]：\\[yx - xy = 0\\]，点\\[C\\]到\\[{l_1}\\]的距离\\[d = \\frac{{\\left| {{y_1}{x_2} - {x_1}{y_2}} \\right|}}{{\\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} }}\\]

因为\\[\\left| {OA} \\right| = \\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} \\]， 所以S?11OAd?x1y2?x2y1. 22[解]（2）由\\[\\left\\{ \\begin{array}{l}

y = kx\\\\

{x^2} + 2{y^2} = 1

\\end{array} \\right.\\],得\\[{x_1}^2 = \\frac{1}{{1 + 2{k^2}}}\\]

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