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第一章 离散信号与系统分析基础

●离散时间信号与系统 ●离散时间信号的频域分析 ●离散系统的频域分析 ●双边z变换 ●系统函数

●全通滤波器与最小相位系统 ●信号的抽样

1.1 离散时间信号与系统

离散信号(序列)的表示 离散序列的产生 常用序列

序列的基本运算 系统分类

单位脉冲响应

用MATLAB求解离散LTI系统响应

离散信号(序列)的表示

x[k]21112k-1013-1 x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}

离散序列的产生

1)对连续信号抽样 x[k]=x(kT) , T-sampling period 2) 信号本身是离散的 3)计算机产生

离散信号: 时间上都量化的信号

数字信号: 时间和幅度上都量化的信号

1.1.1 常用序列

1．单位脉冲序列

?[k]? k?0??1?0k?0

2.单位阶跃序列

u[k]??1 k?0??0k?0

3．矩形序列

R[k]??1 0?k?N?1N??0otherwise

4．指数序列

x[k]?ak,k?Z有界序列： ?k?Z |x [k]| ? Mx ,Mx是与 k无关的常数

aku[k]： 右指数序列, |a| ?1序列有界 aku[-k]： 左指数序列, |a| ?1序列有界

5.正弦型序列

x

[k]?cosk??(ej?kj?k

?e?)/2例 试确定余弦序列x[k] = cos?0k

当(a) ?0=0 (b) ?0=0.1? (c) ?0=0.2? (d) ?0=0.8? (e) ?0=0.9? (f) ?0=? 时的基本周期。 解：

(a) ?0 /2?= 0/1， N=1。

(b) ?0 /2?=0.1/2=1/20， N=20。 (c) ?0 /2?=0.2/2=1/10， N=10。 (d) ?0 /2?=0.8/2=2/5， N=5。 (e) ?0 /2?=0.9/2=9/20, N=20。 (f) ?0/2?=1/2, N=2。

cos[(2p-?0 )k]= cos(?0 k)

当?0从?增加到2?时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。

?0 在? 附近的余弦序列是高频信号。 ?0在0或2?附近的余弦序列是低频信号。

cos?(?0?2?n)k??cos??0k?n?Z

即两个余弦序列的角频率相差2?的整数倍时， 所表示的是同一个序列。

6.虚指数序列(单频序列)

x(t)?ej?t角频率为? 的模拟信号 x[k]

?x(t)t?kT?ej?Tk?ej?k数字信号角频率?=T w

虚指数序列 x [k]=exp( j?k) 是否为周期的?如是周期序列其 周期为多少？

即?/ 2p为有理数时，信号才是周期的。

如果?/ 2p=m / L , L, m 是不可约的整数，则信号的周期为L。用MATLAB 产生序列

MATLAB中的基本函数： exp, sin, cos, square, sawtooth 例 用MATLAB产生指数序列 x[k]=Kaku[k] a = input('输入指数 a = '); K = input('输入常数K = ');

N = input ('输入序列长度N = '); k = 0:N; x = K*a.^k; stem(k,x);

xlabel('时间');ylabel('幅度'); title(['\\alpha = ',num2str(a)]);

1.1.2 序列的基本运算

1)翻转(time reversal) x[k]?x[-k] 2)位移(延迟) x[k]? x[k-N] 3)抽取(decimation) x[k]? x[Mk] 4)内插(interpolation)

x[k]??x[k/M]k是M的整数倍 I??0其他5)卷积

y[k]???n???x[n]h[k?n]

例：已知x1[k] * x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[k-n] * x2[k-m]。结论： y1[k]= y[k-(m+n)]

例：x[k] 非零范围为 N1? k ? N2 ， h[k] 的非零范围为N3? k? N4

求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。 结论：N1+ N3? k ? N4+ N2

例：用MATLAB函数conv计算两个序列的离散卷积。 x=[-0.5,0,0.5,1]; kx=-1:2; h=[1,1,1];kh=-2:0; y = conv(x, h);

k=kx(1)+kh(1):kx(end)+kh(end); stem(k,y);

xlabel('k');ylabel('y');

1.2 离散时间系统

x[k]离散时间系统y[k] 输入序列输出序列

y[k] = T{x[k]}

1.2.1 系统分类

1. 线性(Linearity)

T{ax1[k]?bx2[k]}?aT{x1[k]}?bT{x2[k]}

例: 设一系统的输入输出关系为

y[k]=x2[k] 试判断系统是否为线性？

解：输入信号x [k]产生的输出信号T{x [k]}为

T{x [k]}=x2[k] 输入信号ax [k]产生的输出信号T{ax [k]}为

T{ax [k]}= a2x2[k]

除了a=0,1情况，T{ax [k]}? aT{x [k]}。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。

2.时不变(Time-Invatiance)

定义：如T{x [k]}=y[k]，则T{x [k-n]}=y[k-n] 线性时不变系统简称为：LTI

例: 已知抽取器的输入和输出关系为 y[k]=x[Mk] 试判断系统是否为时不变的？

解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为 y[k]=T{ x[k]}= x[Mk]

输入信号x[k-n]产生的输出信号T{x[k-n]}为 T{x[k-n]}= x[Mk-n] 由于

x[Mk-n] ?y[k-n] 故系统是时变的。

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