河海大学 2007概率统计试卷（基地班）A卷参考解答

A卷

河 海 大 学2007-2008学年第一学期

《概率论与数理统计》试卷

（基地班、力学专业用）2007年12月

试卷A参考解答

一、填空题： 1. P{A?B}?11；2. A?1/2, B?1/?, f(x)?; 3. D(2X?Y)?12; 2?(1?x2)X??0S/n??t?(n?1).

4. N(?,?2/n)；5.

二、选择题：

1. D; 2. C ; 3. D; 4. A; 5. B 三、令事件A为“从乙袋中任取一球为白色”；Bi为“从甲袋中取出并放入乙袋的二只球中有i只白球”，i = 0，1，2。B0、B1、B2构成样本空间的一个完备事件组。 （1）由全概率公式有：P(A)?P(B0)P(A|B3)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)

2112CbCaCba?1Caaa?2a?2?2?2?; Ca?ba?b?2Ca?ba?b?2Ca?ba?b?2a?b（2）由Bayes公式有：

11CaCba?12CaP(B1)P(A|B1)2ab(a?1)?ba?b?2P(B1|A)???P(A)a/(a?b)(a?b)(a?b?1)(a?b?2)aa?b

?2b(a?1).(a?b?1)(a?b?2)四、令Y表示5只电子管中使用寿命大于150小时的只数，则Y~B(5,p)，其中

p?P{X?150}?所以所求的概率为

1002dx?， ?23x150??110201512114P{Y?2}?1?P{Y?0}?P{Y?1}?1?C5()()?C5()()?1??0.9547

3333243?2,0?x?y,0?y?1五、1. f(x,y)?? ；

0,其它??1?2dy?2(1?x),0?x?12. fX(x)?f(x,y)dy??

x???0,其它?????A卷 1

A卷

?z/22dx?z,0?z?1??0???z/2?3. fZ(z)?f(x,z?x)dx??2dx?2?z,1?z?2

?z?1????0,其它????? 另解：?FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}??2?0,z?0；

?1,z?22当0?z?1时，FZ(z)?z/2;1?z?2时，FZ(z)?1?(2?z)/2.

?z,0?z?1dFZ(z)???2?z,1?z?2. 故fZ(z)?dz?0,其它?????六、1. 由矩估计法有E(X)?X；又E(X)????xf(x;?)dx???xe?(x??)dx???1，所以

?M?X?1； ? 似然函数为L(?)??i?1n?n?(xi??)e,x1,x2,?,xn???f(xi;?)??i?1，所以L(?)只有在

?0,其它??x1,x2,?,xn??时才能取到最大值。当x1,x2,?,xn??时，lnL(?)???(xi?1ni??)，所以

dlnL(?)?n?0，即lnL(?)关于?单调增加。故当??min{x1,x2,?,xn}时，lnL(?)取得最大d??L?X(1)?min{X1,X2,?,Xn}。 值。于是??e?(x??),x???1?e?(x??),x???L?X(1)的密度函数为f(1)(z)，2. ?f(x)??，。令??F(x)??0,x??0,x????n分布函数为F(1)(z)，于是有F(1)(z)?1?[1?F(z)]，所以f(1)(z)?n[1?F(z)]?L)?E(X(1))?E(?偏估计量。

七、已知x??0.8,sX?4.466;y?2.45,sY?2.792.;计算，得sw?3.724

22;H1:?12??21. 作假设 H0:?12??2

n?1?e?n(z??),z??f(z)??，从而

0,z???1??L?X(1)?min{X1,X2,?,Xn}不是?的无???，故?n2n????ze?n(z??)dz?A卷 2

A卷

构造统计量 F?S2真1H0S21/?21S2?S22~F(n1?1,n2?1)， 22/?2由P{F?F1??/2(n1?1,n2?1)orF?F?/2(n1?1,n2?1)}???0.05，得拒绝域

F?F1??/2(n1?1,n2?1)orF?F?/2(n1?1,n2?1)

查表，得 F?/2(n1?1,n2?1)?F0.025(3,3)?15.44,

F1??/2(n1?1,n2?1)?1/F?/2(n2?1,n1?1)?1/F0.025(3,3)?1/15.44,

22计算，得 F?s21?sX?s2??????4.466???2.559?(1/15.442??sY???2.792?,15.44), 故接受H220:?1??2. 再作假设 H'0:?1??2;H'1:?1??2， 构造统计量

HT?X?Y0真S?X?Y?(?1??2)~t(n1?n2?2)?t(6)，

w1/n1?1/n2Sw1/n1?1/n2由 P{|T|?t?/2(6)}???0.05，得拒绝域 |T|?t?/2(6)，

查表，得 t?/2(6)?t0.025(6)?2.4469，

计算，得，|T|?|x?y|s?|?0.8?2.45|w1/n1?1/n23.724/2?1.2342?2.4469?t?/2(6)，

故接受H0:?1??2，即可认为这两个样本来自同一正态总体。

2. 引进（构造）主元：T?X?Y?(?1??2)S~t(n1?n2?2)?t(6)

w1/n1?1/n2由 P{|T|?t?/2(6)}?1???0.95，得所求置信区间为

x?y?t?/2(6)sw1/n1?1/n2??3.25?6.444?(?9.694,3.194).

A卷 3

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