2014届高考人教B版数学一轮复习方案课时作业 第13讲 变化率与导

课时作业(十三) [第13讲 变化率与导数、导数的运算]

(时间：45分钟 分值：100分)

基础热身

1．[2012·潍坊一中测试] 函数y＝x2cosx的导数为( ) A．y′＝xcosx－2xsinx B．y′＝2xcosx＋xsinx C．y′＝2xcosx－xsinx D．y′＝xcosx－x2sinx

22

2

中§[教§网z§z§s§tep]

2．[2012·汕头质量测评] 设曲线y＝ax在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )

1

A．1 B. 21

C．－ D．－1

2

3．[2012·昆明一中三模] 函数f(x)＝A．x＝1 B．y＝x－1 C．y＝1 D．y＝－1

4．已知函数f(x)＝－x3＋ax－4(a∈R)，若函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切π

线的倾斜角为，则a＝________．

4

能力提升

132

5．已知某物体的运动方程是s＝t－6t＋32t(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度

3为0的时刻是( )

A．2 s或4 s B．2 s或16 s

中[国教育出版网zzstep.com]2

1＋lnx在(1，1)处的切线方程是( )

x

C．8 s或16 s D．4 s或8 s

6．[2012·新疆适应性检测] 下列曲线的所有切线构成的集合中，切线斜率恒大于零的曲线是( )

A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝x2 D．y＝ex

7． [2012·开封二模] 设函数f(x)＝g(x)＋x，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线

2

方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程为( )

A．y＝4x＋1 B．y＝2x＋4 C．y＝4x D．y＝4x＋3

8．已知直线y＝kx与曲线y＝lnx有公共点，则k的最大值为( ) 1

A．1 B. e22C. D. ee

9．[2013·太原五中月考] 已知函数f(x)的图象如图K13－1所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )

图K13－1

A．0

1

10．若对任意m∈R，直线x＋y＋m＝0都不是曲线f(x)＝x3－ax的切线，则实数a的

3取值范围是________．

ππ

11．已知函数f(x)＝f′??sinx＋cosx，则f??＝________．

?2??4?

12．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．

中[教网]13．已知f1(x)＝cosx，且fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，则f2 014(x)＝________． 14．(10分)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．

15

15．(13分)若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的

4值．

难点突破

16．(12分)设曲线C：y＝－lnx(0＜x≤1)在点M(e，t)(t≥0)处的切线为l. (1)求直线l的方程；

(2)若直线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的最大值．

－t[中。国教。育出。版网]

课时作业(十三)

【基础热身】

1．C [解析] 由导数的计算公式得y＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.故选C.

2．A [解析] y′＝2ax，依题意得k＝y′|x＝1＝2a＝2，解得a＝1.故选A.

1

·x－（1＋lnx）

3．C [解析] f′(x)＝程为y＝1.故选C.

π

4．4 [解析] f′(x)＝－3x2＋a，y＝f(x)的图象在点P处的切线的倾斜角为，即f′

4(1)＝tan

π

，所以－3＋a＝1，解得a＝4. 4

xx2

＝

－lnx，所以k＝f′(1)＝0，所以切线方2

x【能力提升】

5．D [解析] 瞬时速度v＝s′＝t2－12t＋32，令v＝0，可得t＝4或8.故选D. 6．D [解析] 这四个函数的导函数中，只有y＝e的导函数大于0恒成立，即切线斜率恒大于零．故选D.

7．C [解析] 因为y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，所以g′(1)＝2.

又f′(x)＝g′(x)＋2x，所以f′(1)＝g′(1)＋2＝4.故y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率为4.

又点(1，g(1))在切线y＝2x＋1上，所以g(1)＝3，所以f(1)＝g(1)＋12＝4，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程为y－4＝4(x－1)，即y＝4x.故选C.

8．B [解析] 从函数图象知当直线y＝kx与曲线y＝lnx相切时，k取最大值．

xy′＝(lnx)′＝＝k，x＝，所以切点坐标为，ln，切线方程为y－ln＝kx－，

xkkkkk[z+zs+tep.com]111111

1

又切线过原点(0，0)，代入方程解得lnk＝－1，k＝.故选B.

e

9．B [解析] 由图可知，图象上各点的切线斜率随着x的不断增大而减小，所以点(2，

f(2))处切线的斜率大于点(3，f(3))处的切线的斜率，即f′(2)>f′(3)，且f′(3)<

f（3）－f（2）

3－2

＝f(3)－f(2)

10．(－∞，1) [解析] 直线x＋y＋m＝0的斜率为－1，依题意得关于x的方程f′(x)＝x－a＝－1没有实数解，因此，a－1<0，即a<1.

11．0 [解析] f′(x)＝f′

ππππ

cosx－sinx，令x＝，则f′＝－sin＝－1， 2222

2

πππ

所以f(x)＝－sinx＋cosx，所以f＝－sin＋cos＝0.

444

12．(－∞，0) [解析] 曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有解．

11445

又因为f′(x)＝5ax＋，所以方程5ax＋＝0有解．所以5ax＝－1有解．

xx又因为x>0，所以a<0.故实数a的取值范围是(－∞，0)．

13．－sinx [解析] f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以看出，fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N*)的表达式呈现周期性变化，周期为4，所以f2 014(x)＝f2 012＋2(x)＝f2 (x)＝－sinx.

14．解：f′(x)＝3x2－6x＋2，设切线的斜率为k. (1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2，f(0)＝0， 所求的切线方程为y＝2x.

(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)(x0≠0)， 则有y0＝x0－3x0＋2x0，k＝f′(x0)＝3x0－6x0＋2，① 又k＝＝x20－3x0＋2，② 3y01由①②得x0＝，k＝＝－.

2x041

所以所求曲线的切线方程为y＝－x.

4

15．解：设过(1，0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，

23

所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x0x－2x0，

3

2

2

y0

x0

3

又(1，0)在切线上，则x0＝0或x0＝.

2

[z*zs*tep.com]1525

当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；

4643272715

当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.

244425

所以a＝－1或－. 64【难点突破】

1

16．解：(1)因为y′＝(－lnx)′＝－(0＜x≤1)，

x所以在点M(e，t)处的切线l的斜率为－e， 故切线l的方程为y－t＝－et(x－e－t)， 即etx＋y－1－t＝0.

－tt

(2)令x＝0，得y＝t＋1；再令y＝0，得x＝1t＋1

所以S(t)＝(t＋1)t(t≥0)．

2e1－t从而S′(t)＝e(1－t)(1＋t)．

2因为当t∈[0，1)时，S′(t)>0； 当t∈(1，＋∞)时，S′(t)<0， 2

所以S(t)的最大值为S(1)＝. e

t＋1

e

t.

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