解析几何中定点、定值、定直线问题

解析几何中定点定值问题

x22例1 已知椭圆2?y?1(a?1)的上顶点为M（0，1），过M的两条动弦MA、MB满足MA⊥MB。对于

a给定的实数a(a?1)，证明：直线AB过定点。

????????解：由MA?MB?0知MA?MB，从而直线MA与坐标轴不垂直，

故可设直线MA的方程为y?kx?1，直线MB的方程为y??2221x?1 k将y?kx?1代入椭圆C的方程，整理得 (1?ak)x?2akx? 02?2a2k?2a2k1?a2k2,) 解得x?0或x?，故点A的坐标为(1?a2k21?a2k21?a2k22a2kk2?a2,2) 同理，点B的坐标为(222k?ak?ak2?a21?a2k2?2222k2?1k?a1?ak知直线l的斜率为=2 222ak?2ak(a?1)k?k2?a21?a2k2k2?12a2kk2?a2k2?1a2?1(x?2)?2x?2直线l的方程为y?2，即y?2

(a?1)kk?a2k?a2(a?1)ka?1

?a2?1??直线l过定点?0,?2?

a?1??例2一束光线从点F1(?1,0)出发，经直线l:2x?y?3?0上一点P反射后，恰好穿过点F2(1,0)． （1）求P点的坐标；

（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；

（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直

线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

例3 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、

B两点，OA?OB与a?(3,?1)共线. （1）求椭圆的离心率；

22 （2）设M为椭圆上任意一点，且OM??OA??OB(?,??R)，证明???为定值.

x2y2 （I）解：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),F(c,0),

ab

x2y2则直线AB的方程为y?x?c,代入2?2?1

ab化简得(a?b)x?2acx?ac?ab?0. 令A(x1,y1),B(x2,y2),

22222222

2a2ca2c2?a2b2则 x1?x2?2,x1x2?. 222a?ba?b由OA?OB?(x1?x2,y1?y2),a?(3,?1),OA?OB与a共线，得

3(y1?y2)?(x1?x2)?0.

又??y1?x1?c,y2?x2?c,3(x1?x2?2c)?(x1?x2)?0,x1?x2?3c.22a2c3c22即?,所以a?3b. 222a?b6a?c?a2?b2?,3c6故离心率e??.a3x2y2222（II）证明：由（I）知a?3b，所以椭圆2?2?1可化为x?3y?3b.

ab22设OM?(x,y),由已知得(x,y)??(x1,y1)??(x2,y2), ?

?x??x1??x2, ?y??y??y.12??M(x,y)在椭圆上，

?(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2.

即 ?(x1?3y1)??(x2?3y2)?2??(x1x2?3y1y2)?3b. ① 由（I）知x1?x2?2222222331c,a2?c2,b2?c2. 222

??a2c2?a2b232x1x2??c.22 8a?bx1x2?3y1y2?x1?x2?3(x1?c)(x2?c)?4x1x2?3(x1?x2)c?3c23292c?c?3c222?0.?222222

又x1?3y1?3b,x2?3y2?3b又，代入①得 ????1.

22故???为定值，定值为1.

22

x2y2例4 设F1,F2是椭圆C:过右焦点F2的直线l??1的左右焦点，A,B分别为左顶点和上顶点，

43交椭圆C于M,N两点，直线AM,AN分别与已知直线x?4交于点P,Q，试探究以PQ为直径的圆与直线l的位置关系.

高二数学作业（13）

x2y21.过双曲线??1左焦点F1的直线交曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则

43MF2?NF2?MN的值为______．8

x2y22.AB是椭圆2?2?1(a?b?0)中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，

abkAB?kOMb2=______ ?2

ax2?y2?1上，对不同于顶点的任意三个点M,A,B，存在锐角θ，使3.在椭圆2OM?cos?OA?sin?OB．则直线OA与OB的斜率之积为 . ?

4.如图，AB是平面?的斜线段，A为斜足，若点P在平面?内运动，使得△ABP．．．B 的面积为定值，则动点P的轨迹是 椭圆

A P ?

（第4题）

5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x?y?1.椭圆C2:4x?y?1. 若M、N分别是C1、

22221 2C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.

解：当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|= 当直线ON不垂直于x轴时，

22，则O到直线MN的距离为

33.

|k|? 设直线ON的方程为y?kx（显然

22），则直线OM的方程为

y??1xk.

?y?kx?24x?y2?1?由，得

2??x??2??y?14?k2k24?k2，所以

|ON|2?1?k24?k2.同理

|OM|2?1?k22k2?1.

22222(|OM|?|ON|)d?|OM||ON|设O到直线MN的距离为d，因为，

1d2 所以

?1|OM|21?|ON?|23k2?3k2?1?3，即d=

33.

综上，O到直线MN的距离是定值.

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