平行四边形分类讨论问题

平行四边形分类讨论问题

上海市松江区中考

如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

图1

（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

9?c?1, 解得b?，c＝1． ?2??16?4b?c?3.所以抛物线的解析式是y??x2?9x?1． 2（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5． 如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．

在Rt△AOH中，OA＝1，sin?AOH?sin?OBC?

4， 54． 图2 5322所以OH?，BH?OB?OH?．

55AH4222在Rt△ABH中，tan?ABO????．

BH55111（3）直线AB的解析式为y?x?1．

291设点M的坐标为(x,?x2?x?1)，点N的坐标为(x,x?1)，

2291那么MN?(?x2?x?1)?(x?1)??x2?4x．

22所以AH?OA?sin?AOH?当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．

解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．

因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为(1,)（如图3）．

92 1

图3 图4

第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．

由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得x?2?7（如图5）． 所以符合题意的点M有4个：(1,)，(3,92115?75?7)，(2?7,)，(2?7,)． 222

图5

福州市中考第21题

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长

度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．

图1 图2

4（1）QB＝8－2t，PD＝t．

3

2

（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形． 过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8． 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． 图3

AE2310在Rt△APE中，cosA???，所以t?．

APt53当PQ//AB时，

CQCPCQ，即??CBCA86?103．解得CQ?32．

96321016． ??9315（3）以C为原点建立直角坐标系．

如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)． 如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)． 直线EF的解析式是y＝－2x＋6．

6?t6?t如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．

22所以点Q的运动速度为

所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．

图4 图5 图6

第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．

设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，

?9a?3b?c?0,得??a?b?c?4, 解得a＝0，b＝－2，c＝6． ?4a?2b?c?2.?所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．

烟台市中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

3

（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4， 代入点C(3, 0)，可得a＝－1．

所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．

APAB11（2）因为PE//BC，所以??2．因此PE?AP?t．

PEBC221所以点E的横坐标为1?t．

211将x?1?t代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝4?t2．

24111所以点G的纵坐标为4?t2．于是得到GE?(4?t2)?(4?t)??t2?t．

444111因此S?ACG?S?AGE?S?CGE?GE(AF?DF)??t2?t??(t?2)2?1．

244所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．

20（3）t?或t?20?85．

13第（3）题的解题思路是这样的：

因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．

再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．

11E(1?t,4?t)，F(1?t,4)，Q(3,t)，C(3,0)．

221如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此(t?2)2?(4?t)2?t2．

2整理，得t2?40t?80?0．解得t1?20?85，t2?20?85（舍去）．

1如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此(t?2)2?(4?2t)2?t2．

2整理，得13t2?72t?800?0．(13t?20)(t?40)?0．所以t1?20，t2?40（舍去）． 13

4

图2 图3

【20132浙江温州224题】如图，在平面直角坐标系轴，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（6，0）、B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上一动点，连接CD、DE，以CD、DE为边作平行四边形CDEF。

（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；

（2）当m=3时，是否存在点D，使平行四边形CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得平行四边形CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值。

解：（1）∵CE⊥AB ∴∠BEC=∠BOA=90°

∵∠CEB=∠ABO

yyBFFBCECB?∴△BEC∽△AOB ∴ OAAB∵OA=6，OB=8，OC=m

∴AB=OA?OB=10，CB=8-m ∴CE=

22EECC3(8-m) 5 （3）①当0＜m＜8时，以CE为直径作⊙P，当⊙P与x轴相切于点D时，平行四边形CDEF为矩形，如图a。此时，PC=PD=

ODAxODAx（2）存在。

∵m=3 ∴CB=5，CE=3 ∴BE=4 ∵F在y轴上 ∴DE∥OB

13CE=(8-m) 210过点P作PQ⊥y轴于Q，易证得△PQC∽△BOA

ODOA12? ∴OD= BEAB512∴点D坐标为（，0）

5∴

5

CQPC9? ∴CQ=(8-m) OAAB509∴OQ=OC+CQ=m+(8-m)

50∴

易证四边形ODPQ为矩形，则OQ=PD=PC

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