2015年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
?M??N等于（ ）1．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合
A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4}
D．{1，4，5，6}
2．设复数z满足(1?i)z?2i，则z的共轭复数z?（ ）
A．?1?i B．?1?i C．1?i D．1?i 3． “x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．抛物线y?4ax2?a?0?的焦点坐标是（ ）
1???1?,0? D．???16a??16a?A．?0,a? B．?a,0? C．?0,5． 设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，Sn?2?Sn?36，则n?（ ） A．5
B．6 C．7 D． 8
6．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得这个几何体的体积是（ ） A．
112主视图248cm3 B．cm3 C．3cm3 D． 4cm3 332侧视图高三数学（文科）试卷 第1页 （共6页）
2
俯视图
?7．已知实数x,y满足约束条件?y?x?x?y?1，则z?2x?y的最大为 （ ）
??y??1 A．3 B．
32 C．?32 D．?3 8．若执行如图所示的程序框图，则输出的k值是（ ） A．4 B．5 C． 6 D． 7 开始 n=3，k=0
n为偶数 是 否 n?n2 n?3n?1 k=k+1 n=8 否 是 输出k 结束
9．已知函数f(x)?x2?x?1x2?1，若f(a)?23，则f(?a)=（ ） A．
23 B.?23 C.443 D．?3 10．在△ABC中，若???AB?????AC?????AB?????AC?,AB?2,AC?1,E,F为BC边的三等分点，???AE?????AF?? （ ） 高三数学（文科）试卷 第2页 （共6页）
则
1082526 B． C． D． 9999111．函数y?的图象与函数y?2sin?x(?2?x?4)的图象所有交点的橫坐标之和等于
1?xA．（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
12．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)?f?(x)?1,f(0)?4,则不等式exf(x)?ex?3（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．?0,??? B．???,0???3,??? C．???,0???0,??? D．?3,???
第Ⅱ卷 (共90分)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）
x213．若双曲线E的标准方程是?y2?1，则双曲线E的渐近线的方程是 。
414．数列?an?是等比数列，若a2?2，a5?15．若直线l:1，则a1a2?a 2a3???anan1?? 。4xy??1(a?0,b?0)经过点?1,2?，则直线l在x轴和y轴的截距之和的最ab小值是 。
16．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若BC?AC，?A=
?，AC=4，M为AA1中点，点P为BM3?3QC，则PQ的长度为 。 中点，Q在线段CA1上，且AQ1
B1C1A1MPQBC高三数学（文科）试卷 第3页 （共6页）
A
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.） 17．（本小题满分12分）已知函数f(x)?3sin2x?sinxcosx。 (I)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (II)当x??0,
18．（本小题满分12分）某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表1所示。
表1
学习积极性高 学习积极性一般 合计 参加社团活动 17 5 22 不参加社团活动 8 20 28 合计 25 25 50 ???时，求函数f(x)的值域。 ?2??(I)如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(II)运用独立检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由。
n?n11n22?n12n21?2 ??n1?n2?n?1n?2
2P??2?k? k 0.05 3.841 0.01 6.635 0.001 10.828 高三数学（文科）试卷 第4页 （共6页）
19．AB=EC=2，（本小题满分12分）如图，设四棱锥E?ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，
AE?BE?2。
（I）证明：平面EAB?平面ABCD； （II）求四棱锥E?ABCD的体积。
BCEAD1x2y220．（本小题满分12分）已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?，e?，其中F是椭圆的右
2ab????????1焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且AF??FB4（其中??1）。
（I）求椭圆C的标准方程； （II）求实数?的值。
高三数学（文科）试卷 第5页 （共6页）
21．（本小题满分12分）已知函数f?x??alnx(a?0)，e为自然对数的底数。 (I)若过点A2,f?2?的切线斜率为2，求实数a的值； (II)当x?0时，求证：f(x)?a(1?)；
??1x(III)在区间(1,e)上
f(x)?1恒成立，求实数a的取值范围。 x?122．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知AB圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE?AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF?FG。
（I）求证：C是劣弧BD的中点；（II）求证：BF?FG。
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
ADGOFEBC?x?4cos?在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?（?为参数），直线l经过点P（1，
y?4sin??2），倾斜角???6。
高三数学（文科）试卷 第6页 （共6页）
（I）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
（II）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|?|PB|的值。
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)?2x?1?x?4。 （I）解不等式f(x)>0；
（II）若f(x)+3x?4>m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围。
高三数学（文科）试卷 第7页 （共6页）
2015年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（文科）参考答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题 号 参考答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 D 6 B 7 A 8 A 9 C 10 B 11 D 12 A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．y??132x 14．(1?4?n) 15．3?22 16．13 23三、解答题：本大题共70分. 17.解：（I）f(x)?31?cos2x1?sin2x …………2分 22?3． …………4分 ?sin(2x?)?32函数f(x)的最小正周期为T=?． …………6分
因为??2?2k??2x??3??2?2k?,解得??12?k??x?5??k?，k?Z， 12所以函数f(x)的单调递增区间是[??12?k?,5??k?],k?Z． …………8分 12???2???3????(II)x??0,?,2x????,??,sin(2x?)???,1?， …………10分
3?33?3?2??2?高三数学（文科）试卷 第8页 （共6页）
所以函数f(x)的值域为f(x)??0,1???3??． …………12分 2?18.（I）随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是
2211?；……3分 5025抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是
202?． ……6分 505n(n11n22?n12n21)250(17?20?5?8)2??11.688， ………10分 (II)因为??25?25?22?28n1?n2?n?1n?22 所以有99.9﹪的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的态度有关系．12分
19.（I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO.
由AE?BE?2,AB?2，知△AEB为等腰直角三角形.
O 故EO?AB,EO?1，又AB?BC,?ABC?60，则△
OEADABC是等边三角形，从而CO?3. 又因为EC?2，所以EC?EO?CO， 所以EO?CO．
又EO?AB，CO?AB?O，因此EO?平面ABCD.
222BC又EO?平面EAB，故平面EAB?平面ABCD． ???8分 (II)VE?ABCD?
20.解：（I）由条件可知，c?1,a?2，故b?a?c?3，
2221123． ………12分 S?ABCD?EO??2?2?sin60o?1?333x2y2??1． ………4分 椭圆的标准方程是
43????????(Ⅱ)由AF??FB，可知A，B，F三点共线，设点A(x1,y1),点B(x2,y2)
高三数学（文科）试卷 第9页 （共6页）
若直线AB?x轴，则x1?x2?1，不合意题意.
当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y?k(x?1).
?y?k(x?1)?2222由?x2y2，消去y得?3?4k?x?8kx?4k?12?0． ①
?1??3?4由①的判别式??64k?4(4k?3)(4k?12)?144(k?1)?0.
4222?8k2x?x???124k2?3因为? ， ………6分 2?xx?4k?1212?4k2?3?18k212k??所以x1?x2?，所以． ………8分
44k2?32将k?211?35代入方程①，得4x2?2x?11?0,解得x? ． ………10分 44????????????????又因为AF?(1?x1,?y1),FB?(x2?1,y2)，AF??FB，
??1?x13?5． ………12分 ,所以??x2?22aa，f?(2)??2，a?4． ………2分
2x21.解答：（I）f?(x)?(Ⅱ)令g(x)?a(lnx?1?),g?(x)?a(?1x1x1)． ………4分 x2令g?(x)?0，即a(?1x1)?0，解得x?1， x2所以g(x)在(0，1)上递减，在(1,??)上递增.
1所以g(x)最小值为g(1)?0，所以f(x)?a(1?)． ???6分
x (Ⅲ)令h(x)?alnx?1?x，则h?(x)?a?1，令h?(x)?0，解得x?a． …8分 x
高三数学（文科）试卷 第10页 （共6页）
当a?e时，h(x)在(1,e)是增函数，所以h(x)?h(1)?0． ………9分 当1?a?e时，h(x)在(1,a)上递增，(a,e)上递减，
所以只需h(e)?0，即a?e?1． ………10分 当a?1时，h(x)在(1,e)上递减，则需h(e)?0，
因为h(e)?a?1?e?0不合题意． ………11分 综上，a?e?1． ………12分
22.解：（I）?CF=FG， ??CGF??FCG.
?AB圆O的直径，??ACB??ADB??2.
?CE?AB，??CEA??2.
??CBA??2??CAB,?ACE??2??CAB，??CBA??ACE.
??CGF??DGA，??DGA??ABC，??2??DGA??2??ABC.
??CAB??DAC，?C为劣弧BD的中点 ． …………5分
(Ⅱ) ??GBC??2??CGB,?FCB??2??GCF，
??GBC??FCB，?CF?FB,BF?FG. …………10分
23．解：（I）圆的标准方程为x?y?16． …………2分
22???3x?1?tcosx?1?t????62（t为参数） …………5分 直线l的参数方程为?，即??y?2?tsin??y?2?1t??6??2?3x?1?t??2代入x2?y2?16， （Ⅱ）把直线的方程??y?2?1t??2高三数学（文科）试卷 第11页 （共6页）
得(1?321t)?(2?t)2?16，t2?(3?2)t?11?0， ……………8分 22所以t1t2??11，即PA?PB=11． …………10分 24.解：（I）当x?4 时， f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0，得x>-5，所以x?4成立. 当?1?x?4时，f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0，得x>1，所以1
当x?4或x??12时等号成立，所以m<9．
高三数学（文科）试卷 第12页 （共6页）
…………5分 分 …………10
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