2014北京东城高三二模数学(理)试卷(2)

所以f(

x 0

y x2 1

61． 2

1

) ． 7分 122

（Ⅱ）当x [0,]时，

所以，当2x

2 5 2x ． 666

时，即x 0时，函数f(x)取得最小值0； 66

当2x

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）1 10 (0.020 0.025 0.015 0.005) 0.35，

3

时，即x 时，函数f(x)取得最大值． 13分 6232

0 10 0 .35，

即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35． 4分 （Ⅱ）100 0.15 15，100 0.05 5，

所以5

8

2， 20

即抽取的8人中[50,60)年龄段抽取的人数为2． 7分

（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．

3C65

P(X 0) 3 ；

C81412C2C615

P(X 1) ； 3

C82821C2C3

P(X 2) 36 ．

C828

所以X的分布列为

3

X的数学期望为EX

0 1 2 ． 13分

1428284

（17）（共14分）

解：（I）由BC CD，BC CD 2.,

可得BD

由EA ED，且EA ED

2可得AD 又AB 4．

所以BD AD．

又平面EAD 平面ABCD， 平面ADE

平面ABCD AD，

BD 平面ABCD，

所以BD 平面ADE． ５分 （II）如图建立空间直角坐标系D xyz，

则D

(0,0,0)，B

，C(

，E，

BE

，DE

，DC (．

设n (x,y,z)是平面CDE的一个法向量，则n DE 0，n DC 0，

x z 0,即

x y 0.

令x 1，则n (1,1, 1)．

设直线BE与平面CDE所成的角为

，

则sin |cos BE,n |

|BE n|． 3|BE| |

n|． 1

０分 所以BE和平面CDE

（III）设

CF

CE， [0,1]．

DC (

，CE ，DB .

则DF DC CF DC CE 1, 1, )．

设m (x',y',z')是平面BEF一个法向量，则n EB 0，n EF 0， 即

y' 0,

(2 1)x' ( 1)y' z' 0.

2 1

令x' 1，则m (1,0,

)．

2 1

1

0， [0,1].

3

若平面BEF 平面CDE，则m n 0，即1

所以，在线段CE上存在一点F使得平面BEF 平面CDE. 14分

（18）（共13分）

a(1 x2)a(1 x)(1 x)

解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为R,f (x) 2， 222

(x 1)(x 1)

因为a 0，

所以，当x 1，或x 1时，f'(x) 0；

当 1 x 1时，f'(x) 0．

所以，f(x)的单调递增区间为( 1,1),单调递减区间为( , 1),(1, )．

6分

（Ⅱ）因为f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,e)上单调递减，

又f(0) 2a，f(e)

ea

2a 2a， e2 1

所以，当x (0,e)时，f(x) 2a． 由g(x) alnx x a，可得g'(x)

aa x

． 1

xx

所以当a e时，函数g(x)在区间(0,e)上是增函数， 所以，当x (0,e)时，g(x) g(e) 2a e 2a． 所以，当x (0,e)时，

对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) 2a，g(x2) 2a，所以f(x1) g(x2)． 当0 a e时，函数g(x)在区间(0,a)上是增函数，在区间(a,e)上是减函数， 所以，当x (0,e)时，g(x) g(a) alna 2a． 所以，当x (0,e)时，

对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) 2a，g(x2) 2a，所以f(x1) g(x2)． 综上，对于任意的x1,x2 (0,e)，都有f(x1) g(x2)． 13分

（19）（共13分） 解（Ⅰ）依题意有c

2，

c．

a

可得a2 6，b2 2．

x2y2

故椭圆方程为 1． ５分

62

（Ⅱ）直线l的方程为y k(x 2)．

y k(x 2),

联立方程组 x2y2

1. 2 6

消去y并整理得(3k2 1)x2 12k2x 12k2 6 0．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

12k212k2 6

故x1 x2 ，x1x2 ． 22

3k 13k 1

则AB kx1 x2

2

(1 k2)[(x1 x2)2 4x1x2]

设AB的中点为M(x0,y0)．

6k22k

可得x0 2，y0 2．

3k 13k 1

直线MP的斜率为

1

，又 xP 3，

k

3(k2 1)

所以MP x0 xP ． 2

(3k 1)

当△ABP为正三角形时，MP

3

AB，

2

3(k2 1) 2(3k 1)解得k 1．

即直线l的方程为x y 2 0，或x y 2 0． 13分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）f(99) 92 92 162；

f(2014) 22 02 12 42 21． 5分 （Ⅱ）假设a1是一个n位数（n 3）， 那么可以设a1 bn 10n 1 bn 1 10n 2

b3 102 b2 10 b1，

其中0 bi 9且bi N（1 i n），且bn 0． 由a2 f(a1)可得，a2 bn2 bn 12

b32 b22 b12．

(102 b3)b3 (10 b2)b1 (1 b1)b1,

a1 a2 (10n 1 bn)bn (10n 2 bn 1)bn 1

所以a1 a2 (10n 1 bn)bn (b1 1)b1．

因为bn 0，所以(10n 1 bn)bn 99． 而(b1 1)b1 72，

所以a1 a2 0，即a1 a2． 9分

（Ⅲ）由a1 1000，即a1 999，可知a2 92 92 92 243．

同理an 999，可知an 1 92 92 92 243． 由数学归纳法知，对任意n N*，有an 999． 即对任意n N*，有an {1,2,3,

,999}．

因此，存在p,q N*（p q），有ap aq． 则ap 1 aq 1，ap 2 aq 2， ，aq 1 aq q p 1， 可得对任意n N*，n p，有an q p an． 设q p T，即对任意n p，有an T an． 若T p，取m T，n 2m，则有a3m a2m． 若T p，由an T an，可得an pT an，

取m pT，n 2m，则有a3m a2m． 14分

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