第十一章全等三角形综合复习-4(2)

解答过程：延长AE至点F，使EF AE，连接DF 在 ABE与 FDE中 AE FE

AEB FED BE DE

ABE FDE(SAS) B EDF

ADF ADB EDF， ADC BAD B 又 ADB BAD ADF ADC

AB DF，AB CD DF DC

在 ADF与 ADC中 AD AD

ADF ADC DF DC ADF ADC(SAS) AF AC 又 AF 2AE AC 2AE。

解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

4. “截长补短”构造全等三角形

例7. 如图，在 ABC中，AB AC， 1 2，P为AD上任意一点。求证：

AB AC PB PC。

思路分析：欲证AB AC PB PC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC。而构造

AB AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。

解答过程：法一：

在AB上截取AN AC，连接PN 在 APN与 APC中 AN AC

1 2 AP AP

APN APC(SAS) PN PC

在 BPN中，PB PN BN

PB PC AB AC，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长AC至M，使AM AB，连接PM 在 ABP与 AMP中 AB AM

1 2 AP AP

ABP AMP(SAS) PB PM

在 PCM中，CM PM PC AB AC PB PC。

解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

当给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件时，需要我们认真观察、分析，根据图形的结构特点，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧妙构造全等三角形，借助全等三角形的有关性质，就可迅速找到证题的途径。

一、预习新知

无论是随风起舞的风筝，凌空翱翔的飞机，还是中外各式风格的典型建筑；无论是艺术家的创造，还是日常生活中图案的设计，甚至是照镜子都和对称密不可分。在下一讲我们将认识某些平面图形的对称美，并探索一些最简单的轴对称图形的性质。

二、预习点拨

怎样的两个图形才成轴对称呢？什么样的图形是轴对称图形呢？ 探索一：下列哪些图形是轴对称图形？它们的对称轴在哪里？

探索二：下图是轴对称图形，但是其对称轴另一侧的部分被遮挡住了，该怎样将它补充完整呢？

探索三：如图，存在一个三角形与已知三角形关于已知直线对称，该怎样画出这个三角形呢？

（答题时间：60分钟）

一、选择题：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

A. 两直角边对应相等 C. 两锐角对应相等

B. 一锐角对应相等 D. 斜边相等

B. AB 4，BC 3， A 30

D. C 90，AB 6

2. 根据下列条件，能画出唯一 ABC的是( ) A. AB 3，BC 4，CA 8

C. C 60， B 45，AB 4

3. 如图，已知 1 2，AC AD，增加下列条件：①AB AE；②BC ED；③ C D；④ B E。其中能使 ABC AED的条件有( )

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

4. 如图， 1 2， BCD D，AC,BD交于E点，下列正确的是( )

A. DAE CBE

B. CE DE

D. EAB是等腰三角形

C. DEA不全等于 CBE

5. 如图，已知AB CD，BC AD， B 23，则 D等于( )

A. 67 B. 46 C. 23

D. 无法确定

二、填空题：

6. 如图，在 ABC中， C 90， ABC的平分线BD交AC于点D，且，AC 10cm，则点D到AB的距离等于__________cm；

CD:AD 2:3

7. 如图，已知AB DC，AD BC，E,F是BD上的两点，且BE DF，若

AEB 100 ， ADB 30 ，则 BCF ____________；

8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则 CBD的大小为_________；

9. 如图，在等腰Rt ABC中， C 90，AC BC，AD平分 BAC交BC于D，

DE AB于E，若AB 10，则 BDE的周长等于____________；

10. 如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB//CD，AE//CF，且AE CF，若

BD 10，BF 2，则EF ___________；

三、解答题： 11. 如图，点M,N分别在BC,AC上，且BM CN，AM与BN ABC为等边三角形，交于Q点。求 AQN的度数。

12. 如图， ACB 90，AC BC，D为AB上一点，AE CD，BF CD，交CD

延长线于F点。求证：BF CE。

一、选择题： 1. A

2. C

3. B

4. C

5. C

二、填空题： 6. 4

7. 70

8. 90

9. 10 10. 6

三、解答题：

11. 解： ABC为等边三角形

AB BC， ABC C 60 在 ABM与 BCN中 AB BC

ABC C BM CN

ABM BCN(SAS) NBC BAM

AQN ABQ BAM ABQ NBC 60 。 12. 证明： AE CD，BF CD F AEC 90 ACE CAE 90 ACB 90

ACE BCF 90 CAE BCF 在 ACE与 CBF中 F AEC

CAE BCF AC BC ACE CBF(AAS) BF CE。

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