《2014挑战中考数学压轴题》1.4 因动点产生的平行四边形问题(2)

（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，△ACG的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△ECH′，可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′，因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．

请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，即t=2，△ACG的面积取得最大值1．观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。

思路点拨

1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD． 2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．

3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．

满分解答

（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4， 代入点C(3, 0)，可得a＝－1．

所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．

APAB11

2．因此PE AP t． PEBC221

所以点E的横坐标为1 t．

2

11

将x 1 t代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝4 t2．

24

111

所以点G的纵坐标为4 t2．于是得到GE (4 t2) (4 t) t2 t．

444

（2）因为PE//BC，所以

111

因此S ACG S AGE S CGE GE(AF DF) t2 t (t 2)2 1．

244

所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．

（3）t

20

或t 20 13

考点伸展

第（3）题的解题思路是这样的：

因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．

再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．

11

E(1 t,4 t)，F(1 t,4)，Q(3,t)，C(3,0)．

22

1

如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此(t 2)2 (4 t)2 t2．

2

整理，得t2 40t 80

0．解得t1 20

t2 20 ．

1

如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此(t 2)2 (4 2t)2 t2．

2

20

整理，得13t2 72t 800 0．(13t 20)(t 40) 0．所以t1 ，t2 40（舍去）．

13

图2 图3

例4 2011年上海市中考第24题

已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y 图象与y轴交于点A，点M在正比例函数y MO＝MA．二次函数

3

x 3的4

3

x的图象上，且2

y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一

3次函数y x 3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． 4

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．

思路点拨

1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．

2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．

3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．

满分解答

（1）当x＝0时，y

3

x 3 3，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3． 4

33．将y 22

如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为代入y

33

x，得x＝1．所以点M的坐标为(1,)．因此AM 22

c 3,

532

（2）因为抛物线y＝x＋bx＋c经过A(0，3)、M(1,)，所以 3解得b ，

221 b c . 2

5

c 3．所以二次函数的解析式为y x2 x 3．

2

（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E． 在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m．

5

因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入y x2 x 3，得

2

3 2m 16m2 10m 3．解得m

因此点C的坐标为（2，2）．

1或者m＝0（舍去）

．

2

图2 图3

考点伸展

如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：

727

如图4，点C的坐标为(,)．

416

图4

例5 2011年江西省中考第24题

将抛物线c1

：y 2x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示． （1）请直接写出抛物线c2的表达式；

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．

①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11江西24”，拖动点M向左平移，可以体验到，四边形ANEM可以成为矩形，此时B、D重合在原点．观察B、D的位置关系，可以体验到，B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况．

思路点拨

1．把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来，用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．

2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程．

3．根据矩形的对角线相等列方程．

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