2016高考总复习步步高资料学案 (39)

学案43 空间的平行关系

导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系．

自主梳理

1．直线a和平面α的位置关系有________、________、__________，其中________与________统称直线在平面外．

2．直线和平面平行的判定：

(1)定义：直线和平面没有____________，则称直线和平面平行． (2)判定定理：a?α，b?α，且a∥b?________； (3)其他判定方法：α∥β，a?α?________.

3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝l?________. 4．两个平面的位置关系有________、________. 5．两个平面平行的判定：

(1)定义：两个平面没有________，称这两个平面平行； (2)判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α； (3)推论：a∩b＝P，a，b?α，a′∩b′＝P′，a′，b′?β，a∥a′，b∥b′?________. 6．两个平面平行的性质定理： α∥β，a?α?________；

α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b?________. 7．与垂直相关的平行的判定：

(1)a⊥α，b⊥α?________；(2)a⊥α，a⊥β?________. 自我检测 1．(2011·湖南四县调研)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a?α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a?α，a∥β，b?β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 2．(2011·烟台模拟)一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )

A．l∥α B．l⊥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α 3．下列各命题中：

①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行；

③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交； ④垂直于同一直线的两个平面平行． 不正确的命题个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4

4．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作( ) A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．1个或2个 5．(2011·南京模拟)在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________.

探究点一 线面平行的判定

例1 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.

变式迁移1 (2011·长沙调研)在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.

探究点二 面面平行的判定

例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.

变式迁移2 已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．

(1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC； (2)求S△G1G2G3∶S△ABC.

探究点三 平行中的探索性问题 例3 (2011·惠州月考)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，

1

AD＝DC＝AB，BC⊥PC.

2

(1)求证：PA⊥BC；

(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．

变式迁移3

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

转化与化归思想综合应用

例 (12分)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M、N分别是AB、SC的中点，P是SD上的一动点．

(1)求证：BP⊥AC；

(2)当点P落在什么位置时，AP∥平面SMC? (3)求三棱锥B—NMC的体积．

多角度审题 第(1)问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABCD，第(2)问是一个开放型问题，可有两种思维方式：一是猜想P是SD的中点，二是从结论“AP平行于平面SMC”出发找P满足的条件．

【答题模板】

(1)证明 连接BD，∵ABCD为正方形， ∴BD⊥AC，又SD⊥底面ABCD，

∴SD⊥AC，∵BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SDB，∵BP?平面SDB， ∴AC⊥BP，即BP⊥AC.[4分]

(2)解 取SD的中点P，连接PN，AP，MN.

1

则PN∥DC且PN＝DC.[6分]

2

1

∵底面ABCD为正方形，∴AM∥DC且AM＝DC，

2

∴四边形AMNP为平行四边形，∴AP∥MN.

又AP?平面SMC，MN?平面SMC，∴AP∥平面SMC.[8分]

111111111

(3)解 VB—NMC＝VN—MBC＝S△MBC·SD＝··BC·MB·SD＝×1×××2＝.[12分]

3232262212

【突破思维障碍】

1．本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系，首先要根据三视图想象直观图，尤其是其中的平行、垂直及长度关系，第(1)问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABCD，第(2)问是一个开放型问题，开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题目．结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向．

2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法．

1.直线与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理．

2.平面与平面平行的重要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a⊥α，a⊥β?α∥β.

3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1.(2011·开封月考)下列命题中真命题的个数为( )

①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；

④若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． A.1 B．2 C．3 D．4

2.已知直线a、b、c和平面m，则直线a∥直线b的一个必要不充分的条件是( ) A.a⊥m且b⊥m B．a∥m且b∥m C.a∥c且b∥c D．a，b与m所成的角相等 3.在空间中，下列命题正确的是( ) A.若a∥α，b∥a，则b∥α

B.若a∥α，b∥α，a?β，b?β，则β∥α C.若α∥β，b∥α，则b∥β D.若α∥β，a?α，则a∥β

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