篇一：高一数学：函数的单调性知识点+例题讲解+课堂练习
第3讲函数的单调性
教学内容
一、知识梳理
单调性定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A.
如果取区间M上的任意两个值x1 , x2，改变量?x?x2?x1＞0，则 当?y?f(x2)?f(x1)＞0时，就称函数f(x)在区间M上是增函数； 当?y?f(x2)?f(x1)＜0时，就称函数f(x)在区间M上是增函数． 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性（区间M称为单调区间）．
25
二、方法归纳
在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数．
设x1,x2??a,b?，若有 （1）
f(x1)?f(x2)
x＞0，则有f(x)在?a,b?上是增函数．
1?x2（2）
f(x1)?f(x2)
x＜0，则有f(x)在?a,b?上是减函数．
1?x2
在函数f(x)、g(x)公共定义域内，
增函数f(x)?增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)?减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?增函数g(x)是减函数． 函数的单调性常应用于如下三类问题： （1）利用函数的单调性比较函数值的大小．
（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．
（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值． 若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递增，则函数值域为(f(a)，f(b))；
若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递减,则函数值域为(f(b)，f(a))； 若函数y?f(x)在定义域?a,b? 上递增，则函数值域为 [f(a)，f(b)] ； 若函数y?f(x)在定义域 ?a,b? 上递减，则函数值域为 [f(b)，f(a)]；若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递增，则函数的最大值为f(b)，最小值为
f(a) ；
若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递减，则函数的最大值为f(a)，最小值为
26
f(b)；
三、典型例题精讲
［例1］若y?ax与y??b
x
在?0,???上都是减函数，对函数y?ax3?bx的单调性描述正确的是()
A. 在???,???上是增函数 B. 在?0,???上是增函数
C. 在???,???上是减函数 D. 在???,0?上是增函数，在?0,???上是减函数解析: 由函数 y?ax在?0,???上是减函数，得 a＜0，
又函数y??
b
x
在?0,???上是减函数，得 b＜0， 于是，函数ax3
，bx在???,???上都是减函数， ∴ 函数y?ax3?bx在???,???上是减函数，故选C．
【技巧提示】 熟悉函数y?ax，y?ax3
，y?bx，y?
b
x
的单调性与a、b的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性．
［例2］求函数f(x)?
x?1?x?3的最大值．
解析：由f(x)?
x?1?x?3?
4x?1?x?3
，
知函数f(x)?x?1?x?3在其定义域 [3，+? ?上是减函数． 所以f(x)?
x?1?x?3的最大值是f(3)?2．
【技巧提示】 显然由x?1?x?3?
4x?1?x?3
使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的．
又例 已知x??0,1?，则函数y?x?2??x的值域是 .
解析：∵ y?
x?2??x在x??0,1?上单调递增，
∴ 函数y?x?2??x的值域是?f(0),f(1)?．
即
2?1,3?．
27
再例 求函数y?x??2x的值域．
解析：∵ y?x??2x 在定义域??1?
??2,????上是增函数，
∴ 函数y?x??2x的值域为 ??1?
??2,????
．
［例3］函数f(x)在R上为增函数，求函数y?f(x?)单调递减区间． 解析：令u?x?，则u在(－∞,－1]上递减， 又函数f(x)在R上为增函数，
∴ 函数y?f(x?)单调递减区间为(－∞,－1].
【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数x?的单调性，y?f(x?)与x?的单调性和单调区间相同．如果变函数f(x)在R上为减函数，那么函数y?f(x?)的单调性与函数
x?1的单调性相反，即函数y?f(x?)单调递增区间为(－∞,－1].
又例 设函数f(x)在R上为减函数，求函数y?f(1
x
)单调区间． 再例 设函数f(x)在R上为增函数，且f(x)＞0，求证函数y?
1
f(x)
在R上单调递减．
［例4］试判断函数f(x)?ax?b
x
(a?0,b?0)在?0,???上的单调性并给出证明.
解析：设x1?x2?0 ，f?x1??f?x2???xax1x2?b
1?x2?
x 由于x1?x2?01x2
故当x??x?
1,x2??? 时f??1??f?x2??0，此时函数f?x
?在???
?
上增函数，同理可证函数f?x
?在??
?上为减函数.
?28
【技巧提示】 f(x)?ax?
b
要引起足够(a?0,b?0)是一种重要的函数模型，
x
?b的重视．事实上，函数f?x??ax??a?0,b?
0?的增函数区间为???,?x?
和????
??，
减函数区间为和?．但注意本题中不能说f?x?
??????
????
?
????
?上为增函数，
在?????????上为减函数, ??
??
在???,?
??
在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”．
2
又例：求函数y?x?5的最小值．
x2?4
解析：由y?
x2?5x2?4
?x2?4?
1x2?4
?u?
1
?g?u?,u??2,???,用单u
调性的定义法易证g?u??u?
21
在?2,???上是增函数，易求函数y?x?5的ux2?4
最小值为
5
为所求． 2
x2?2x?a
,x??1,???. 若对于x??1,???,f(x)再例：已知函数f?x??
x
＞0恒成立，试求a的取值范围.
x2?2x?aa
解析：由f(x)＝ ?x??2,x??1,???.
xx
当a＞0时， f?x??x?a?2 显然有f(x)＞0 在?1.???恒成立； x
x2?2x?aa
a≤0时，由f?x???x??2,x??1,???知其为增函数，只需
xx
f(x)的最小值f(1)＝3＋a＞0,解之，a＞－3.
∴当a＞－3时，f(x)＞0在?1,???上恒成立.
［例5］已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)＞0，且f(10)＝1，
设F(x)=f(x)?
1
，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论． f(x)
解析：在R上任取x1、x2，设x1＜x2，∴f(x2)＞f(x1)，
29
篇二：高一数学(必修1)专题复习一函数的单调性和奇偶性
高一数学（必修1）专题复习一
函数的单调性和奇偶性
一．基础知识复习
1．函数单调性的定义：
如果函数f(x)对定义域内的区间I内的任意x1,x2，当x1?x2时都有
f?x1??f?x2?，则f?x?在I内是增函数；当x1?x2时都有f?x1??f?x2?，则f?x?在I内时减函数．
f?x1??f?x2?2．单调性的定义①的等价形式：设x1,x2??a,b?，那么?0?f?x?在 x1?x2
f?x1??f?x2??0?f?x?在?a,b?是减函数；?a,b?是增函数；
x1?x2
?x1?x2???f?x1??f?x2????0?
f(x)在?a,b?是减函数．
3．函数单调性的应用：利用定义都是充要性命题．
即若f(x)在区间I上递增（递减）且f(x1)?f(x2)?x1?x2(x1，x2?I)；
若f(x)在区间I上递递减且f(x1)?f(x2)?x1?x2(x1，x2?I)．
① 比较函数值的大小； ② 可用来解不等式； ③ 求函数的值域或最值等．
4．证明或判断函数单调性的方法：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究 函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集． （1）用定义． （2）用已知函数的单调性．（3）图象法．
（4）如果f(x)在区间I上是增（减）函数，那么f(x)在I的任一非空子区间上也是增（减）函数
（5）复合函数的单调性结论：“同增异减” ．
（6）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． （7）在公共定义域内，增函数f(x)?增函数g(x)是增函数；减函数f(x)?减函数g(x)是减函数；增函数f(x)?减函数g(x)是增函数；减函数f(x)?增函数g(x)是减函数． （8）函数y
?ax?
??b(a?0,b?0)在???,或??上单调递增；
在???x??
???或0???上是单调递减． ?????
5．函数的奇偶性的定义：设y?f(x)，x?A，如果对于任意x?A，都有f(?x)??f(x)，则称函数y?f(x)为奇函数；如果对于任意x?A，都有f(?x)?f(x，则称函数)y?f(x)为偶函数．
6．奇偶函数的性质：
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）f(x)是偶函数?f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数?f(x)的图象关于原点对称．（3）f(x)为偶函数?f(x)?f(?x)?f(|x|)． （4）若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)?0．
二．训练题目
（一）选择题
1．下列函数中，在区间(??,0]上是增函数的是（） A．y?x2?4x?8 B．y?log1(?x)C．y??
2
2
D．y??x x?1
2．若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2在区间???,4?上是减函数，则实数a的取值范围是 A．??3,???B．???,?3? C．???,3? D．?3,??? 3．函数f(x)在递增区间是??4,7?，则y?f(x?3)的递增区间是（） A．??2,3? B．??1,10?C．??1,7?D．??4,10?
?1?
???f?1?的实数x的范围是（）x??
A．??1,1? B．?0,1?C．??1,0???0,1? D．???,?1???1,??? 5．如果奇函数f(x)在区间?3,7?上是增函数，且最小值为5，那么在区间??7,?3?上是 A．增函数且最小值为?5 B．增函数且最大值为?5 C．减函数且最小值为?5 D．减函数且最大值为?5
6．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(??,0]上是减函数，且f(2)?0，则使得f(x)?0的x的取值范围是（）A．???,2? B．?2,??? C．???,?2???2,??? D．??2,2?
a
7．若f(x)??x2?2ax与g(x)?在区间?1,2?上都是减函数，则a的取值范围是
x?1
A．??1,0???0,1?B．??1,0???0,1? C．?0,1? D．?0,1?
4．已知函数f?x?为R上的减函数，则满足f??
8．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于（）
A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称 D．以上均不对 9．设f(x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）
A．f(x)?f(?x)是奇函数 C．f(x)?f(?x)是偶函数
B．f(x)?f(?x)是奇函数
D．f(x)?f(?x)是偶函数
10．已知f(x)是偶函数，x?R，当x?0时，f(x)为增函数，若x1?0,x2?0，且
|x1|?|x2|，则（）
A．f(?x1)?f(?x2) B．f(?x1)?f(?x2) C．?f(x1)?f(?x2) D．?f(x1)?f(?x2)
（二）填空题
1．已知f(x)是R上的奇函数，且在(0,??)上是增函数，则f(x)在(??,0)上的单调性 为 ．
2．已知奇函数f(x)在?0,???单调递增，且f(3)?0，则不等式xf(x)?0的解集 是．
3．已知偶函数f(x)在[0，若a?f(?1)，2]内单调递减，b?f(log1
2
1
)，c?f(lg0.5)，
4
则a、b、c之间的大小关系是_____________．
4．若函数f(x)?ax?b?2在?0,???上为增函数，则实数a、b的范围是． 5．已知y?f(x)为奇函数，若f(3)?f(2)?1，则f(?2)?f(?3)?．
(x?1)(x?a)
为奇函数，则a?．
x
7．已知函数f(x)?ax2?bx?c,x???2a?3,1?是偶函数,则a?b?．
6．设函数f(x)?
8．已知f(x)?ax7?bx5?cx3?dx?5，其中a,b,c,d为常数，若f(?7)??7，则f(7)?．
9．已知函数f(x)是定义在???,???上的偶函数，当x????,0?时，f(x)?x?x4，则当x??0,???时，f(x)?． 10．定义在(?1,1)上的函数f(x)?（三）解答题
1．写出下列函数的单调区间
（1）y?x?2?x? （2）y?
2．判断下列各函数的奇偶性：
（1）f(x)?2(x?1)?6x(x?2)?2（2
）f(x)?
3
x?m
是奇函数，则常数m?____，n?_____ ．
x2?nx?1
2x?1
（3）y???x?3?x
3x?2
2?(x?0)?x2?x?x
（3）f(x)?（4）f(x)??2
x?2?2(x?0)???x?x
3．利用单调性的定义：
（1）证明函数f(x)??x?1在（-∞，+∞）上是减函数．
（2）讨论函数f(x)?
3
ax
（a?0）在（－1，1）上的单调性． 2
x?1
4．（1）已知奇函数f(x)在定义域(?1,1)内单调递减，且f(1?m)?f(1?m2)?0，求m的取值范围．
（2）设定义在??2,2?上的偶函数f(x)在区间?0,2?上单调递减，若f(1?m)?f(m)，求实数m的取值范围．
5．
设函数f(x)?上是单调函数．
其中a?0．求证：当a≥1时，函数f(x)在区间?0,???ax，
exa
?x是R上的偶函数．6．设a?0，f(x)?（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,??)ae
上为增函数．
7．已知函数f(x)的定义域是x?0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有
x?1时f(x)?0,f(2)?1， f(x)1?x2)?f(x1)?f(x2，且当
2
（1）求证：f(x)是偶函数；（2） f(x)在(0,??)上是增函数；（3）解不等式f(2x?1)?2
篇三：高一数学必修一函数知识点总结
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? ；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间
（3）区间的数轴表示． 5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）?B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：
1 任取x，x∈D，且x<x； ○
2 作差f(x)－f(x)； ○
3 变形（通常是因式分解和配方）； ○
4 定号（即判断差f(x)－f(x)的正负）； ○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． ○
1
2
1
2
1
2
1
2
(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质） （1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○
2确定f(－x)与f(x)的关系； ○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－○
f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○
2 利用图象求函数的最大（小）值 ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴y?
⑵
y?2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为_ _
3.若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是
?x?2(x??1)
?4.函数 ，若f(x)?3，则x= f(x)??x2(?1?x?2)
?2x(x?2)?
5.求下列函数的值域：
⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2]
(3)
y?x
y6.已知函数f(x?1)?x2?4x，求函数7.已知函数
f(x)，f(2x?1)的解析式
f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。
8.设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时
,f(x)?x(1,则当x?(??,0)时 f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： ⑴ y?x2?2x?3
⑵yf(x)=
⑶ y?x2?6x?1
10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论． 11.设函数f(x)?
1?x2判断它的奇偶性并且求证：1
f()??f(x)． 2
1?xx
第三章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N．
*
n
?
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。
当n是奇数时，an?a，当n是偶数时，an?|a|??2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
?a(a?0)
??a(a?0)
a?a(a?0,m,n?N,n?1)，a
mn
m*
?
mn
?
1a
mn
?
1
am
(a?0,m,n?N*,n?1)
? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）a〃a?a
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