2013-2014中考数学专题复习 - - 专题五25：数学思想方法（一）

考点一：整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例1 （2013?吉林）若a-2b=3，则2a-4b-5= ．

思路分析：把所求代数式转化为含有（a-2b）形式的代数式，然后将a-2b=3整体代入并求值即可．

解：2a-4b-5=2（a-2b）-5=2×3-5=1． 故答案是：1． 点评：本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a-2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 对应训练 1．（2013?福州）已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3?（a-b）3的值是 ． 1．1000

考点二：转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 （2013?东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）．

思路分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 解：如图：

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∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处， ∴A′D=0.5m，BD=1.2m， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B=． AD?2?BD2?0.52?1.22=1.3（m）故答案为：1.3． 点评：本题利用转化思想把立体问题转化为平面问题，从而使问题简单化、直观化。将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

对应训练 2．（2013?宁德质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为 ． 2．4.8 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10， 如图，连接CP， ∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E， ∴四边形DPEC是矩形， ∴DE=CP， 当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小， ∴DE=CP=6?8 =4.8， 10故答案为4.8．

考点三：分类讨论思想

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在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

例3 （2013?山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示： （1）填空：甲种收费的函数关系式是 ． 乙种收费的函数关系式是 ．

（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？

思路分析：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；

（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式． 解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得

?6?b，12=100k1， ??16?100k?b解得：??k?0.1，k1=0.12，

b?6?∴y1=0.1x+6，y2=0.12x；

（2）由题意，得

当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300； 当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300； 当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300； ∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算； 当x=100时，甲乙两种方式一样合算； 当300＜x≤4500时，选择甲种方式合算． 故答案为：y1=0.1x+6，y2=0.12x． 点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点．

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对应训练 3．（2013?牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）． （1）请你设计出进货方案； （2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？ （3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案． 3．解：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40-x）台，由题意，得 ?2500x?2800(40-x)?105700， ?3000x?3200(40-x)?123200?解得：21≤x≤24， ∵x为整数， ∴x=21，22，23，24 ∴有4种购买方案： 方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台； 方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台； 方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台； 方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台； （2）由题意，得 y=（3000-2500）x+（3200-2800）（40-x）， =500x+16000-400x， =100x+16000． ∵k=100＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴x=24时，y最大=18400元． （3）设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，由题意，得 2500a+2800b+500c=18400， c=184?25a?28b． 5∵a≥2，b≥2，c≥1，且a、b、c为整数， ∴184-25a-28b＞0，且是5的倍数．且c随a、b的增大而减小． 当a=2，b=2时，184-25a-28b=78，舍去； 当a=2，b=3时，184-25a-28b=50，故c=10； 当a=3，b=2时，184-25a-28b=53，舍去； 当a=3，b=3时，184-25a-28b=25，故c=5； 当a=3，b=4时，184-25a-28b=-2，舍去， 当a=4，b=3时，184-25a-28b=0，舍去． - 4 -

∴有2种购买方案：

方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶， 方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶．

四、中考真题演练 一、选择题 1．（2013?杭州）若a+b=3，a-b=7，则ab=（ ） A．-10 B．-40 C．10 D．40 1．A 2．（2013?黄冈） 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（ ）

A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π 2．C 3．（2013?达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE最小的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

3．B 4．（2013?齐齐哈尔）CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（ ） A．8 B．2 C．2或8 D．3或7 4．C 5．（2013?泸州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ） A．25 cm 43cm 5．C 6．（2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 6．B 7．（2013?新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．12 B．15 C．12或15 D．18

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B．45cm C．25 cm或45cm D．2cm或

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