线性系统龙伯格能控规范型的算法分析(2)

  (1)
设：rank B = r 输入变量数为p，输出变量数为q。 。构造其龙伯格能控规范型的方法如下：
对能控性矩阵
  Qc=[B┆AB┆A2B┆……┆An-1B]
其中
       B=[b1,b2,……,bq]
找出n个线性无关的列，表示如下：
 其中 ，能控性指数 
令 取p的每个块阵中的末行：
 
 构造变换矩阵
 
引入线性非奇异变换   
即可得到系统 (1)的龙伯格能控规范型：
                              
其中
 
  i=1,2,……,r
    
 
 
上述矩阵中，“*”表示的元素为可能的非零元。

3   Luenberger能控规范型算法的实现
下面给出了一个完成Luenberger能控规范型算法的MATLAB程序，程序的代码如下：

A=[……];
B=[……];
C=[……];
%（在“……”处输入相应的数据）
寻找B矩阵的无关列向量:
for l=1:2
    RA=rank(A);RB=rank(B);Bwg=B(:,1);
   for i=2:RB
      if rank(Bwg)<RB,
          Bwg=[Bwg,B(:,i)];
      end
   end
%确定能控性指数u:
 SO=[];
   for i=0:RA
      for j=1:RB
         if rank(SO)<rank([SO,A^i*Bwg(:,j)]),
            SO=[SO,A^i*Bwg(:,j)];
            u(j)=i+1;
         end
      end
   end
%构造p逆矩阵:
PNI=[];
for j=1:RB
   for i=0:u(j)-1
      PNI=[PNI,A^i*Bwg(:,j)];
   end
end
P=inv(PNI);
%构造Luenberger规范型变换矩阵S-1
SNI=[];j=0;
for k=1:RB
   j=u(k)+j;
   for i=0:u(k)-1
      SNI=[SNI;P(j,:)*A^i];
   end
end
%求Luenberger规范型矩阵Ac、Bc:
S=inv(SNI);Ac=SNI*A*S;Bc=SNI*B;
Cc=C*S;

4 结束语
使用MATLAB语言编写的程序来求解线性系统的龙伯格能控规范型，进而可以很方便地进一步设计线性系统的状态变量反馈系统，以实现系统极点的任意配置，从而改善系统的性能，并且也使得多输入—多输出系统的状态观测器的设计变得轻而易举。因此，本文所讨论的问题有相当的普遍性，同时给出的解决方案也具有较高的实用价值。

 

 

参考文献：
1、《线性系统理论》(M)，郑大钟，清华大学出版社。1990年3月第一版。
2、Chi-Tsong Chen, “LINEAR SYSTEM THEORY AND DESING” （M）,   Holt Richard and Winston.  revised edition 1984
3、《掌握和精通MATLAB》(M)，张志涌、刘瑞帧等，北京航空航天大学出版社。1997年8月第一版。

 

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